חפירות במדבר

יום ה', י"ט בתמוז תשע"ז, 13.7.2017

אוניברסיטת בן-גוריון,

בניין 37 (מדעי המחשב), אודיטוריום 202

שימו לב לעדכון במיקום!

הנכם מוזמנים לכנס חפירות במתמטיקה השני, אשר יתקיים באוניברסיטת בן-גוריון ביום ה' ה-13.7.17.

יהיו הרצאות מרתקות במגוון נושאים, הזדמנות לפגוש ולהכיר אוהבי מתמטיקה כמוכם, וכמובן – לחפור!

פוסטר של כנס

(תודה רבה לאושרית ויבורסקי שעיצבה את הפוסטר)

התוכנית:

(התוכנית אינה סופית, שימו לב לעדכונים)

v 9:30-10:10 התכנסות וכיבוד

v 10:05-11:00 שי שכטר, ספירת הצגות של חבורות

תקציר:

כשאנחנו מקבלים לידינו חבורה, אחת הדרכים לחקור אותה היא לבדוק באילו דרכים היא יודעת לפעול על מרחבים וקטורים.

גישה זו, המעבירה את הדיון מחבורות אבסטרקטיות לעולם הלינארי של אופרטורים על מרחב וקטורי (לרוב, מעל המרוכבים), היא הבסיס של תורת ההצגות.

בכל זאת, נסיון להשיג תיאור מלא ומיון כל ההצגות של חבורה G הוא בד"כ משימה קשה. שאלה מעט יותר ספציפית שניתן לשקול היא :בכמה דרכים ניתן להציג את החבורה בתוך מרחב וקטורי נתון?

או לחילופין - עבור טבעי, כמה הצגות יש לחבורה G בתוך מרחב וקטורי n מימדי?

בהרצאה נסקור את התוצאות המרכזיות בתחום של ספירת הצגות ובתחומים קרובים, ונדבר על כמה מהכלים המרכזיים שבשימוש בתורה.

ניתן לקרוא תקציר מפורט יותר כאן.

דרישות קדם: מבנים אלגבריים (חבורות) וטופולוגיה בסיסית.

v 11:05-12:00 שי (דשא) ויבורסקי, כסף קוואנטי בעזרת קשרים

תקציר:

אחד העקרונות הבסיסיים בתורת הקוואנטים הוא עקרון הno-cloning שמספר לנו שאין דרך כללית לשכפל מערכת במצב שרירותי.

אנשים עם חזון מנסים להשתמש בתכונה הזו כדי ליצור שטרות ש(כמעט) בלתי אפשרי לזייף. בהרצאה נדבר על המודל החישובי הקוואנטי, על העקרונות הכלליים של כסף קוואנטי, ועל דרך אחת אפשרית לממש את הרעיון הזה בעזרת תורת הקשרים.

דרישות קדם: אלגברה לינארית והסתברות, לא נדרשת היכרות עם תורת הקשרים או תורת הקוואנטים.

v 12:00-13:30 ארוחת צהריים

v 13:30-14:25 גיל גופר, אוטומורפיזמים של עצים

תקציר:

נדבר על חבורת האוטומורפיזמים של עץ-d רגולרי, כחבורה אבסטרקטית וכמרחב מטרי.

נמיין את האיברים בחבורה לאליפטים ולהיפרבולים, ונדגים איך המיון שימושי לפתרון בעיות, לדוגמא: נוכיח שחבורת האוטומורפיזמים של העץ (החבורה ) נוצרת-אינווריאנטית כחבורה טופולוגית (כלומר היא בעלת תכונת TIG).

על הדרך נעלה מגוון חידות, ושאלות מעניינות למחקר בנושא!

דרישות קדם: חבורות, הכרות עם טופולוגיה קבוצתית.

v 14:30-15:25 עידן פרל, הילוכים מקריים, פונקציות הרמוניות וחבורות

תקציר:

חתול שיכור הולך ברחובות באר שבע. בכל צומת הוא בוחר באופן מקרי את הכוון בו ימשיך ללכת. באותו זמן, חסידה שלקחה LSD עפה לה בשמי העיר, כאשר מדי פעם היא משנה את כוון טיסתה באופן מקרי.

האם החתול יחזור אי פעם למקום שבו התחיל את הילוכו? האם החסידה?

מה היה קורה אילו במקום במישור או במרחב האוקלידיים, הם היו מתהלכים באופן מקרי בתוך חבורה? (ומה זה בכלל אומר?!)

בהרצאה נדבר על הילוכים מקריים, חבורות, ומה הם יכולים לספר זה על זה.

דרישות קדם: חבורות (מושג של חבורה נוצרת סופית), הכרות בסיסית עם הסתברות.

v 15:30-16:00 הפסקת קפה

v 16:05-17:00 יריב איזנבוד, איך באמת מוצאים ערכים עצמיים של מטריצה

תקציר:

בשנה א' לומדים שערכים עצמיים הם שורשים של הפולינום האופייני. מסתבר שבשביל באמת למצוא ע"ע (למטריצות מעל גודל 5 על 5) זה לא רעיון כל כך טוב.

נדבר על השיטות שבאמצעותן באמת מוצאים ע"ע (שיטות חזקה, אלגוריתם QR, Lanczos ועוד) ולמה בעצם צריך יותר משיטה אחת.

דרישות קדם: אלגברה ליניארית: מרחבים וקטוריים, נורמה של וקטור, מטריצות, פתרון מערכת משוואות ליניארית, ערכים עצמיים ווקטורים עצמיים.

v 17:05-18:00 יניב גנור, הצצה אל גיאומטריה סימפלקטית: השערת ארנולד, הומולוגיית מורס ותורת פלואר

תקציר:

גיאומטריה סימפלקטית היא ענף של מתמטיקה עיונית שצמח מהניסוח ההמילטוני של מכניקה קלאסית. בקצרה ניתן לומר שזהו התחום החוקר את "הגיאומטריה של תנועה פיזיקלית".

כל פונקציה חלקה (מכונה המילטוניאן, בהקשר זה, "מותר" לה להיות תלויה בפרמטר זמן) על יריעה סימפלקטית מגדירה שדה וקטורי על היריעה, ולכן זרימה, המכונה זרימה המילטונית.

ארנולד שיער שיש קשר בין הטופולוגיה של היריעה, לבין מספר המסלולים המחזוריים של זרימה המילטונית עליה, בדומה לאי שוויון המגיע מתורת מורס, המקשר בין הטופולוגיה של היריעה למספר הנקודות הקריטיות של פונקציה חלקה עליה.

בהרצאה אספר מעט על גיאומטריה סימפלקטית והשערת ארנולד, ואסביר את ההוכחה של פלואר להשערת ארנולד באמצעות בנייה של תורת הומולוגיה שנקראת כיום הומולוגיית פלואר.

תורת פלואר הינה אנלוגיה של תורת מורס למרחבי לולאות של יריעות סימפלקטיות. אספר על תורת מורס באמצעות דוגמאות, ואסקור באמצעות ציורים את הבנייה של פלואר.

דרישות קדם: טופולוגיה דיפרנציאלית והיכרות עם מטריקה רימנית. (היכרות עם טופולוגיה אלגברית תסייע אך אינה הכרחית).

v 18:00 -18:30 ארוחת ערב

v 18:35-19:30 שחר סמורודינסקי, צביעות חסרות קונפליקטים

תקציר:

נכליל את מושג הצביעה הקלאסית של גרף פשוט להיפרגרף (כלאמר לקבוצה של קודקודים ואוסף כלשהו של תת-קבוצות שלה).

נאמר שצביעה של הקודקודים היא חסרת קונפליקטים אם בכל אחת מקבוצות האוסף יש לפחות קודקוד אחד עם צבע שלא ניתן לאף קודקוד אחר בקבוצה.

נראה את הקשר בין המושג הזה לבעיות של השמות תדרים באנטנות סלולריות ונוכיח חסמים על מספר הצבעים הדרוש למשפחות מעניינות של היפרגרפים.