כנס שלישי

חפירות על מתמטיקה במדבר

יתקיים ביום ה', 04.10.2018, כ"ה בתשרי תשע"ט

באוניברסיטת בן-גוריון, בניין 26, אולם 004 (מפה)

פוסטר (עוצב ע"י אושרית ויבורסקי)

הנכם מוזמנים לכנס חפירות במתמטיקה השלישי, אשר יתקיים באוניברסיטת בן-גוריון ביום ה' ה-04.10.2018.

תוכנית הכנס:

9:30-10:00 התכנסות וכיבוד

10:05-11:00 דור ביתן, על חישוב רב-משתתפים וחלוקת-סוד

11:05-12:00 אלון ניסן-כהן, שניים זה תמיד ביחד

12:00-13:30 ארוחת צהריים

13:30-14:25 רחל גרינפלד, תחומים ספקטרליים, תחומים מרצפים והקשר ביניהם

14:30-15:25 דן כרמון, תורת המספרם האנלוגית

15:30-16:00 הפסקת קפה

16:05-17:00 מיכאל קרויטר, תורת שדות קוונטית על סריג ובעיית הסימן

17:05-18:00 שי (דשא) ויבורסקי, מכפלות טנזוריות ושמורות Dehn

18:00-19:30 ארוחת ערב ובידור

תקצירי ההרצאות:

10:05-11:00 דור ביתן, על חישוב רב-משתתפים וחלוקת-סוד

שני מיליונרים רוצים לדעת מי מהם עשיר יותר, וזאת מבלי לגלות אחד לשני מהו מספר המיליונים שברשותם. הם היו יכולים לבקש מגורם ניטרלי שיסייע להם, בכך שכל אחד מהמיליונרים יגלה לגורם הניטרלי בכמה מיליונים הוא מחזיק והגורם הניטרלי יגלה לשניהם מה התשובה, אבל לדאבונם, אין בנמצא גורם ניטרלי שכזה.

זוהי בעיה קלאסית בתורת ההצפנה (קריפטוגרפיה), וספציפית, בתחום הקריפטוגרפי שנקרא "חישוב בטוח רב משתתפים". בליבו של תחום זה נמצאת הבעיה הבאה: R הוא חוג (לרוב שדה סופי). N שחקנים מחזיקים, כל אחד, באיבר מהחוג, x_i. השחקנים מעוניינים לחשב את f(x₁,…,x_n), כאשר f היא פונקציה כלשהי מ- Rⁿ אל R, וזאת מבלי שאף אחד מהמשתתפים ייאלץ לחשוף בפני המשתתפים האחרים כל מידע לגבי ה-x_i שבידו. פתרונות אפשריים לבעיה זו, אשר הופיעו לראשונה לפני כ-40 שנה, מבוססים בחלקם על סכמות לחלוקת-סוד – כלי קריפטוגרפי בסיסי אשר לו שימושים רבים בתחומים קריפטוגרפיים שונים.

איך בכלל מגדירים פיתרון לבעיה הזאת? (מה זה בכלל אומר "לא לחשוף כל מידע"?)

מה קורה אם חלק מהשחקנים עושים יד אחת נגד השחקנים האחרים?

ואיך כל זה קשור להודעות ווטסאפ שכולנו שולחים מדי יום ולמחשבים קוונטיים?

בהרצאה ננסה לגעת בחלק מהנושאים והשאלות לעיל.

בקישור בכותרת מופיעה מצגת ההרצאה.

דרישות קדם: מושגי יסוד בהסתברות, אלגברה לינארית ושדות סופיים.

11:05-12:00 אלון ניסן-כהן, שניים זה תמיד ביחד

כל סטודנטית קשובה לאלגברה לינארית מבינה היטב שאי אפשר להפריז בחשיבותו של המרחב הדואלי. זוהי אחת הדוגמאות הבסיסיות למושג הדואליות, שנפוץ בכל רחבי עולם המתמטיקה, ומתאר באופן כללי מצב של קשר הדוק ומעניין בין שני עצמים. בהרצאה זו נעסוק במושג הדואליות באופן אבסטרקטי, בעזרת שימוש בשפה האלגנטית של תורת הקטגוריות, ונראה כיצד השימוש בו יכול להאיר את עינינו בשלל דוגמאות, שחלקן מפתיעות למדי.

דרישות קדם: אלגברה לינארית, מכפלות טנזוריות, הכרות בסיסית עם תורת החוגים ומודולים מעליהם, וכן עם טופולוגיה.

13:30-14:25 רחל גרינפלד, תחומים ספקטרליים, תחומים מרצפים והקשר ביניהם

בשנת 1974 המתמטיקאי Bent Fuglede שיער כי תחום במרחב האוקלידי מקיים תכונה אנליטית הנקראת "ספקטרליות" אם ורק אם ניתן לרצף את המרחב באמצעות הזזות שלו. מהו תחום ספקטרלי? האם ההשערה נכונה? מה הקשר בין התכונה האנליטית לתכונה הגאומטרית?

בהרצאה נציג את בעיית התחומים הספקטרליים ונדבר על השערת Fuglede, המוטיבציה שלה והמחקר אודותיה לאורך השנים.

דרישות קדם: הכרות עם מרחבי הילברט.

14:30-15:25 דן כרמון, תורת המספרים האנלוגית

תורת המספרים ידועה בכך שנפוצות בה שאלות על מספרים שהן קלות מאוד לניסוח, אך קשות מאוד לפתרון, כמו השערת גולדבאך או המשפט האחרון של פרמה. תורת המספרים האנלוגית שואלת שאלות דומות, רק שהן קצת יותר קשות לניסוח, הרבה יותר קלות לפתרון, ולא ממש על מספרים.

בהרצאה נציג את האנלוגיה, ונסקור מספר בעיות קלאסיות קשות (או אפילו פתוחות), שבאנלוגיה נעשות קלות (או לפחות פתירות).

דרישות קדם: ידע מוקדם אינו הכרחי לכלל ההרצאה, אך היכרות בסיסית עם תורת המספרים, שדות סופיים או חוגים - יתרמו.

16:05-17:00 מיכאל קרויטר, תורת שדות קוונטית על סריג ובעיית הסימן

בעיות רבות בפיזיקה תיאורטית, בפרט הניסוח של "תורת השדות הקוונטית", מתוארות ע"י אינטגרלים ב"גבול" בו מספר משתני האינטגרציה שואף לאינסוף. ברוב המקרים לא ידועים הביטויים האנליטיים המתאימים ולכן נדרש שימוש בשיטות נומריות וחישוביות. גישה מובילה בהקשר הזה היא "הגישה החישובית לתורת שדות על סריג", שמשתמשת בשיטות מונטה קרלו לחישוב האינטגרלים. במקרים מסוימים, למשל כשהאינטגרנד אינו ממשי, עשוי להיווצר מצב בו העלות החישובית של הגישה הזו היא אקספוננציאלית. מצב זה ידוע בספרות כ"בעיית הסימן".

בהרצאה נגדיר תורת שדות באמצעות סריג ונציג את הגישה החישובית לתורת שדות על סריג. לאחר מכן נתאר את בעיית הסימן ונכיר מצבים פיזיקליים בהם היא עשויה להתעורר. לסיום נראה גישות חדשות לפתרון בעיית הסימן.

דרישות קדם: לא נדרש ידע מוקדם בפיזיקה.

17:05-18:00 שי (דשא) ויבורסקי, מכפלות טנזוריות ושמורות Dehn

לא קשה להוכיח שבהנתן שני מצולעים שווי שטח, אפשר לגזור אחד לכמות סופית של משולשים ולהרכיב ממנו את הצורה השניה. האם הדבר נכון גם לפאונים תלת מימדיים? האם בהנתן שני פאונים ניתן לחתוך אחד לכמות סופית של פאונים ולהרכיב מהחתיכות את הפאון השני?

שאלה זו היתה הבעיה השלישית ברשימת מאה הבעיות של הילברט, והראשונה שנפתרה, עוד באותה שנה, על ידי תלמידו של הילברט מקס דן (Dehn). הפתרון של דן משתמש בכלי בשם מכפלות טנזוריות והוא אחד הדוגמאות הראשונות לשימוש באלגברה בשביל להוכיח משפט אי-התכנות בגאומטריה.

בהרצאה נציג את מושג המכפלה הטנזורית ואת הפתרון של דן, ואם הזמן יאפשר נתאר אפיקי מחקר עתידיים שהתפתחו מהוכחה זו.

דרישות קדם: לא נדרשת היכרות עם גאומטריה או מכפלות טנזוריות, אבל אניח היכרות בסיסית עם חוגים.