םייטפילא םימוקע םייטפילא םימוקע

Final Exam

homework 1

201-2-5091 סרוק רפסמ

הצרמה

רסב ןונמא ר"ד

(58) הקיטמיתמ ןינב 212:רדח

6477861:דרשמב ןופלט

bessera@math.bgu.ac.il :ינורטקלא ראוד

http://www.math.bgu.ac.il/ bessera :תשרה לע

http://www.math.bgu.ac.il/ bessera/elliptic :סרוקה רתא

.בשחמה יעדמו הקיטמתמ ידימלתו םדקתמ ןושאר ראותו ינש ראות הקיטמתמ ידימלת :ל דעוימ סרוקה

.םידוקו היפרגוטפירקב הביטחה תרגסמב לולכ סרוקה

םדקה יאנת

(ליבקמב רשפא) 4 הרבגלא

םירפסמה תרות

הליעומ תובכורמה תויצקנופה תרותו תירבגלא הירטמואיגב םיסרוקה םע תמיוסמ תורכיה
.ךכב ךרוצה ררועתי םא הלא תורותמ ונל שורדה רמוחה לכ לע רובענ - תיחרכה אל לבא

.סרוקה םויסב הדובע יפ לע עבקי :ןויצה

םירפסמה תרותב רתויב םיקתרמהו םיבושחה םיאשונהמ איה םייטפילאה םימוקעה תרות
רחא םוקמב םייק םא קפסש םידוגינ לש בוליש איה וז הרות .הלוכ הקיטמתמבו
תליחתב הדוסיי ,םדק ימיב דוע תרחא וא וז הדימב םיצוענ הישרוש :הקיטמתמב
תוטושפ תואוושמ לש רקחמ איה .ונימיב רבגתמו ךלוה הב רקחמה לבא 19-ה האמה
םיאשונה דחא תא הווהמ תאז תורמלו (םימלענ ינשב 3 הגרדמ תחא האוושמ) רתויב
תרעשה לש החכוהה ומכ ,רתויב טשפומ רקחמל הליבוה איה .הלוכ הקיטמתמב םיקומעה
םוחתב קט-ייהה םלועב םיבר םימושיי תלעב איה לבא ,הילע תססובמה המרפ
תונויער תינמז וב םילאושה הקיטמתמב םימוחתה םיטעמ ,ףוסבל .הנפצהה
,תובכורמה תויצקנופה תרות ומכ הזמ הז ךכ לכ םינושו םיבר םימוחתמ תוטישו
.תירבגלאה הירטמואגהו םירפסמה תרות

האוושמה קויד רתיל ,הארמל המימת האוושמ הרואכל אוה יטפילא םוקע
וזכ האוושמ םידמול ונא .םיעובק םה b -ו a רשאכ y2 = x3+ax+b
תונורתפה ףסוא b = 1 -ו a = -4 רשאכ ,לשמל .הלש תונורתפה תצובק תועצמאב
ךכ הארנ םיישממה לעמ האוושמה לש

elliptic.gif
הצובק יכ רבתסמ .הלש םיבכורמה תונורתפה תצובק לע ןנובתהל רשפא הדימ התואב
.ךכ הארנה (ךעכ וא גימצ) סורוט איה וז

complex.jpg
גירשב בכורמה רושימה לש הנמה אוה תרחא הרוצבו

lattice.jpg
רבדה יכ רבתסמ .תיפוליח הרובח אוה יטפילאה םוקעה יכ רורב וז הנורחא הרוצב
.טושפ ירטמואג רואית וז הרובחל יכו םיבכורמה תונורתפל סחיב קר אל ןוכנ

איה ( p ולודומ םירפסמה הדש ומכ) יפוס הדשב תונורתפה תצובק םג
עודיה רתויב בוטה אוהש יגולוטפירק םתירוגלאל הליבומ וז הרובחש רבתסמ .הרובח
םייטפילא םימוקע לע תוססובמה הנפצה לש תוטיש יכ ןעטנ הנורחאל .םויכ
,ףסונב .תומדוק תוטישל האוושהב רשעל דחא דע עבשל דחא לש סחיב תוחוטב ןה
.םינפצ תריבשל תוטישב םג םא יכ הנפצה תוטישל קר אל םישמשמ םייטפילא םימוקע

רצייל רשפא םיינושארה לכ רובע p ולודומ םירפסמה הדשב תונורתפה תריפסמ
רובע תרדגומה םוקעה לש L -ה תיצקנופ תארקנה בכורמ הנתשמ לש היצקנופ
הקיטמתמה לש רתויב תואלפומה תוילגתה תחא .קיפסמ לודג ישממ קלח םע םיבכורמ
וז היצקנופ לש הבחרהה תורשפא תלאשל המרפ תרעשה ןיב רשקה איה םירשעה האמב
לע קתרמה רופיסה תא) סלייו ורדנא ידי לע וז היעב ןורתפו ,םיבכורמה לכל
.("המרפ לש ןורחאה טפשמה" גניס ןומייס לש רכמה בר רפסב אורקל ולכות החכוהה

fermat.jpg

םירועישה תינכת

(התיכב ןינעה יפל תונתשהל היושע תינכתה)

םימוקע לש דחוימ גוס םה םייטפילא םימוקע - םיירבגלא םימוקע .1
םימוקע .םימלענ ינשב תחא האוושמ ידי לע םירדגומה םימוקע - םיירבגלא
הירטמואגה לש קוסיעה םוחת - תוירבגלא תועירי לש יטרפ הרקמ םמצעב םה םיירבגלא
םייטפילא םימוקעב לפטל לכונש ידכ וז הרותב תוידוסי תוטיש דמלנ ונא .תירבגלאה
.והשלכ הדש לעמ

םימוקע םה םייטפילא םימוקע - הרובחה קוחו תישילש הגרדמ םימוקע .2
תצובקש אוה םהב ידוחייה רבדה .תישילש הלעממ האוושמ ידי לע םירדגומה םיירבגלא
קוח תא ריבסנ ונא .תיפוליח הרובח הווהמ והשלכ הדש לעמ האוושמה לש תונורתפה
.הילע תוידוסיה תודבועה תא דמלנו וזה הרובחה

םירפסמה לעמ יטפילא םוקע - םיבכורמה לעמ םייטפילא םימוקע .3
תגשומ וז תוליקש .גירשב םיבכורמה לש הנמה - בכורמ סורוטל לוקש םיבכורמה
תויצקנופה תרות תויטפילא תויצקנופ תויורקה דאמ תונינעמ תויצקנופ תועצמאב
ןיב רשקה תא ןייצמ הרותה םשו םייטפילאה םימוקעה תרותל תמדוק תויטפילאה
.הספילא לש תשקה ךרוא בושיחל םישמשמה םילרגטניאל הלא תויצקנופ

תודוקנה ףסוא - םיימוקמו םייפוס תודש לעמ םייטפילא םימוקע .4
םוחתב דאמ הבושח וז הרובח .תיפוס הרובח אוה יפוס הדש לעמ יטפילא םוקע לש
םייזכרמה םיטפשמה .המצע תוכזב ןינעמ רקחמ טקייבוא םג איהו היפרגוטפירקה
ירפסמ ןיב םירשקו יפוס הדשב םוקעה לש תודוקנה רפסמ לע םימסח םינתונ הז םוחתב
יטפילא םוקע לש םימזיפרומודנאה גוח לע םג דמלנ .םינוש תודש לעמ תודוקנה
p -ה םירפסמה הדש ומכ םיימוקמ תודש לעמ םייטפילא םימוקע .יפוס הדש לעמ
.םיילנויצרה ומכ תודשו םייפוס תודש לעמ םימוקעה ןיב םייניב תיילוח םה םיידא-

רובע - Taniyama-Shimura תרעשהו םייטפילא םימוקע לש L תויצקנופ .5
םוקעה לש תודוקנה ירפסממ רוציל רשפא םיילנויצרה לעמ יטפילא םוקע
L -ה תיצקנופ תארקנה בכורמ הנתשמ לש היצקנופ Z/pZ םייפוסה תודשה לעמ
קר שארמ תרדגומ איה הומכו ןמיר לש אתיז תיצקנופל המוד וז היצקנופ .םוקעה לש
Taniyama-Shimura תרעשה .קיפסמ לודג ישממ ךרע םע םיבכורמ םירפסמ רובע
היצקנופה תא תיטילנא ךישמהל ןתינש תרמוא ,הרבעש הנשב קר האולמב החכוהש ,
.המרפ תרעשה תחכוהב ירקיעה ביכרה איה וז הרעשה .בכורמה רושימה לכל

יאשונמ דחא - האולג תיגולומוהוק ,האולג תוגצהו לותיפ תודוקנ .6
לש האולג תרובח לש הלועפה אוה םייטפילאה םימוקעה םוחתב םיירקיעה רקחמה
הלועפ .םוקעה לש לותיפה תודוקנ תרובח לע םיילנויצרה לש ירבגלאה רוגסה
תרעשה תחכוהב שמשמה ירקיעה ילכה איהו םוקעל המיאתמה האולג תגצה תארקנ וז
הליבומה ,וז הגצה לש האולג תיגולומוהוקב םג קוסענ . Taniyama-Shimura
.תירותסמה Shafarevich-Tate תרובחל

Mordell-Weil טפשמו הבוג תויצקנופ ,םיילנויצרה לעמ םייטפילא םימוקע .7
טפשמה תנעט .םייטפילאה םימוקעה לש תינרדומה הרותב םינושארהמ אוה הז טפשמ -
רתוי יללכ ןפואב וא ,םיילנוצרה לעמ יטפילא םוקע לש תודוקנה תרובח יכ איה
םילכ ינשב תשמתשמ טפשמה תחכוה .תיפוס תרצונ איה ,והשלכ םירפסמ הדש לעמ
דודמל תרשפאמ וז הרות .הבוגה תויצקנופ תרותו האולג תיגולומוהוק :םיירקע
Birch לש הרעשהה תא םג ריכזנ .יטפילאה םוקעה לש הדוקנ לש תויכוביסה תא
רדסל תוילנויצרה תודוקנה תרובח לש הגרדה תא תרשוקה Swinnerton-Dyer -ו
.1 הדוקנב םוקעה לש L -ה תיצקנופ לש תוספאתהה

בחרמ אוה ירלודומ םוקע - תוירלודומ תוינבתו םיירלודומ םימוקע .8
הנמכ ותוא ראתל רשפא םיבכורמה לעמ .םייטפילאה םימוקעה לכ ףסואל םירטמרפ
,יבויח ינוימד ךרע םע םיבכורמה םירפסמה ףסוא - ןוילעה רושימה יצח לש
ןוילעה רושימה יצח לע תויצקנופ ןה תוירלודומ תוינבת .תמיוסמ הרובח תלועפב
תוינבת תודדוקמ רתיה ןיב .וז הרובח תלועפל סחיב תילנויצקנופ האוושמ םע
ףסונ קומע רשק ןהל שי ףסונב .תונינעמ תוירוטניבמוק תויצקנופ תוירלודומ
לכונ הז רשק רואית רחאל . Taniyama-Shimura תרעשהלו םייטפילא םימוקעל
.המרפ תרעשה תחכוה לע םילימ רפסמ רמול

:תצלמומ תורפס

  1. J. Silverman, The Arithmetic of Elliptic Curves, Graduate Text in Mathematics 106, Springer Verlag 1986.
  2. J.S. Milne, Elliptic Curves, http://www.jmilne.org/math/CourseNotes/math679.html