Activities This Week

strong text

While there are earlier works on bounded cohomology, the topic was popularized by Gromov in 1982. In this introductory talk, we will give definitions of bounded cohomology of discrete groups with trivial coefficients. We will interpret bounded cohomology in low degrees in terms of quasimorphisms and central extensions. Then we will mention a few examples of how bounded cohomology has proved useful in applications, before concentrating on the classification of circle actions

Consider an infinite group G acting by isometries on some metric space X.
How does a “typical” element act? Consider a representation of G into some matrix group. What sort of matrix represents “typical” elements of G?

The answer depends on what we mean by the word “typical,” of which there are at least two reasonable notions. We may take a random walk on G and look where it lands after a large number of steps. We may also fix a generating set for G and look how large balls are distributed.

I will talk about how these two notions of genericity are related and how they differ, focusing on the setting of hyperbolic groups. I will also explain that the following is true with respect to both notions: For a group acting on a Gromov hyperbolic metric space typical elements act loxodromically, i.e. with north-south dynamics.

For a representation of a large class of groups (including hyperbolic groups) into SL_n R, typical elements map to matrices whose eigenvalues are all simple and have distinct moduli.

פעמים רבות במתמטיקה אנו נתקלים בבעיות פשוטות לניסוח וקשות לפתרון. בהרבה מקרים הקושי נובע ממחסור בכלים מתמטיים, ועל-מנת לגשת לבעיות בסיסיות כאלה עלינו לפתח תורה מתמטית כללית. בהרצאה זו נציג מספר בעיות בסיסיות כאלה בגיאומטריה של המישור וננסה להבין כיצד ניתן לגשת לחלק מהבעיות הללו באמצעות חקר של משטחים, כלומר יריעות דו-מימדיות קומפקטיות.

הנושא של יריעות הוא אולי מעט מתקדם ולא נציג בהרצאה זו הגדרות והוכחות מורכבות שמסתמכות על כלים מתקדמים. מצד שני, נראה הרבה תמונות וננסה להבין באמצעות דוגמאות את האובייקטים ואת הקשר ביניהם ובין השאלות הבסיסיות שנראה.