פעילויות השבוע

On a closed Riemannian manifold, the Courant nodal domain theorem gives an upper bound on the number of nodal domains of n-th eigenfunction of the Laplacian. In contrast to that, there does not exist such bound on the number of isolated critical points of an eigenfunction. I will try to sketch a proof of the existence of a Riemannian metric on the 2-dimensional torus, whose Laplacian has infinitely many eigenfunctions, each of which has infinitely many isolated critical points. Based on a joint work with A. Logunov and M. Sodin.

לפרק מספר ממש גדול לגורמים ראשוניים זה קל. כל מה שצריך זה קצת זמן, קצת סבלנות, ומחשב קוונטי.

בשנת 1994 פיטר שור הראה איך אפשר לפרק מספרים לגורמים ראשוניים בזמן פולינומיאלי בעזרת מחשב קוונטי ובכך קידם את המעמד של המחשבים הקוונטיים מקוריוז משעשע למוקד מחקר ענף.

בהרצאה נסביר (מתמטית) מה הוא מחשב קוונטי, מה הוא יכול ולא יכול לעשות, ואיך נשתמש במחשב כזה בשביל לפרק מספרים לגורמים ראשוניים. אם הזמן יתיר, נדון בחשיבות התאורטית של התוצאה הזאת וקצת בתחום באופן כללי

An inhomogeneous Markov chain $X_n$ is a Markov chain whose state spaces and transition kernels change in time. A “local limit theorem” is an asymptotic formula for probabilities of the form

$Prob[S_N-z_N\in (a,b)]$, $S_N=f_1(X_1,X_2)+....+f_N(X_N,X_{N+1})$

in the limit $N\to\infty$. Here $z_N$ is a “suitable” sequence of numbers. I will describe general sufficient conditions for such results.

If time allows, I will explain why such results are needed for the study of certain problems related to irrational rotations.

This is joint work with Dmitry Dolgopyat.