אוק 18, 2020—ינו 15, 2021

קורסים

מתמטיקה בדידה
Pdf 201.1.2201 5.0 נק"ז

  • יום א 14:00 - 12:00
  • יום ה 12:00 - 10:00

  1. מבוא. קבוצות, תת-קבוצות, תמורות, פונקציות, חלוקות. איברים בלתי-ניכרים (זהים), מולטי-קבוצות, אלגברה בינרית של תת-קבוצות. כללי סכום וכפל, קונוולוציות, ספירת זוגות. מקדמים בינומיאליים ומולטינומיאליים. מספרי סטירלינג מהסוג השני (הגדרה ומשואת נסיגה).
  2. גרפים. מושג כללי של גרף, דוגמאות, איזומורפיזם. קשירות. גרפי אוילר. עצים. משפט קיילי. גרפים דו-חלקיים, משפט קניג. משפט הול.
  3. שיטת ההכלה ודחיה. נוסחה אנליטית למספרי סטירלינג. ספירת תמורות תחת אילוצים. פולינום הצריח.
  4. פונקציות יוצרות. מושג כללי של פ“י. משמעות קומבינטורית של פ“י. תורת משואות הנסיגה עם מקדמים קבועים: הפתרון הכללי למשוואה הומוגנית, המקרה הכללי למשואה הומוגנית, המקרה הכללי ומקרה פרטי של אי הומוגניות. מספרי קטלן. פירוקי מספרים, לוחות פרה. פ“י אקספוננציאליות, ספירת מילים, חלוקות וכד‘.

מטרת הסדנה ללוות את תלמידי מתמטיקה בשנה א ולשפר את המיומנויות שלהם בכל הנוגע לכתיבת הוכחות פורמאליות. במסגרת הסדנה, התלמידים יעבדו בקבוצות קטנות על כתיבת הוכחות, עם דגש על נושאים שמתקשרים לקורסי היסוד של שנה א.

שדות ומטריצות, מרחבים וקטוריים מעל שדה, משוואות ליניאריות מעל שדה, דטרמיננטות, מרחבים דואליים, טרנספורמציות ליניאריות.

חשבון אינפינטסימלי 1
Pdf 201.1.1011 5.0 נק"ז

פרופ' תם מאירוביץ

  • יום ב 12:00 - 10:00
  • יום ד 12:00 - 10:00

אקסיומות של המספרים הממשיים, סדרות: מושג הגבול, סדרות מונוטוניות משפט בולצנו ויירשטראס, תנאי קושי, המספר e. גבולות של פונקציות. פונקציות רציפות: הגדרות שקולות של רציפות, תכונות הפונקציות האלמנטריות, פונקציית האקספוננט, משפט ערך הביניים, קיום אקסטרמום בקבוצה סגורה וחסומה, רציפות במידה שווה ומשפט קנטור. מבוא לנגזרות: הגדרת הנגזרת וכללי גזירה, נגזרת של פונקציה הפוכה, נגזרות של פונקציות אלמנטריות, משפטי פרמה ורול, משפט הערך הממוצע של לגרנז‘

מבנים אלגבריים
Pdf 201.1.7031 4.0 נק"ז

פרופ' נדיה גורביץ

  • יום ג 11:00 - 09:00
  • יום ה 14:00 - 12:00

  • חבורות, חבורת המנה ומשפטי איזומורפיזם. משפטי סילוב ופעולות של חבורות.
  • חוגים, תחומי שלמות ושדות. אידיאלים מקסימליים וראשוניים. תחום פריקות יחידה, תחום ראשי, תחום אוקלידי.
  • מודולים, משפטי פירוק של מודולים נוצרים סופית על תחום ראשי. יישום לחבורות קומוטטיביות נוצרות-סופית.

יסודות תורת המידה(*)
Pdf 201.1.0081 4.0 נק"ז

פרופ' ויקטור ויניקוב

  • יום ב 16:00 - 14:00
  • יום ד 15:00 - 13:00

סיגמא-אלגבראות, משפט הרחבת המידה ומידת לבג על הישר, מרחבי מידה כלליים, פונקציות מדידות, תורת האינטגרציה, משפטי התכנסות (משפט אגורוב, התכנסות במידה, כמעט תמיד ובנורמות $L_p$), משפט לוזין, מרחבי $L_p$, מידות במרחבי מכפלה ומשפט פוביני, מידות מסומנות ומרוכבות ופירוק האן, משפט רדון ניקודים ושימושים, גזירה, נושאים נוספים ככל שיתיר הזמן.

לוגיקה
Pdf 201.1.6061 4.0 נק"ז

פרופ' מנחם קוג'מן

  • יום ב 18:00 - 16:00
  • יום ד 12:00 - 10:00

מערכת אקסיומות לתחשיב הפרדיקטים. משפט השלמות ומשפט הקומפקטיות. מבוא לתורת המודלים: משפטי סקולם-לוונהים ותתי מבנים אלמנטריים. כריעות ואי-כריעות של תורות. משפט אי השלמות הראשון של גדל.

תורת הגרפים
Pdf 201.1.6081 4.0 נק"ז

פרופ' שחר סמורודינסקי

  • יום א 12:00 - 10:00
  • יום ה 16:00 - 14:00

???

גרפים ותת גרפים, עצים, קשירות, מסלולי אוילר, מעגלים המילטוניים, זיווגים, צביעות של גרפים, גרפים מישוריים, מבוא לתורת רמזי, גרפים מכוונים, שיטות הסתברותיות ואלגבריות בתורת הגרפים.

הסתברות
Pdf 201.1.8001 4.0 נק"ז

פרופ' אריאל ידין

  • יום א 16:00 - 14:00
  • יום ב 12:00 - 10:00

מבוא למושגים הבסיסיים של תורת ההסתברות:

מרחבי הסתברות גבולות של מאורעות ורציפות של הסתברות הסתברות מותנה אי-תלות של מאורעות סיגמה-אלגבראות, מרחבים רציפים, ומידת לבג משתנים מקריים והתפלגויות אי-תלות התפלגויות משותפות והתפלגויות מותנות תוחלת שונות ושונות משותפת התכנסות של משתנים מקריים: כמעט-תמיד, Lp, בהסתברות חוק המספרים הגדולים התכנסות בהתפלגות משפט הגבול המרכזי

תורת המספרים
Pdf 201.1.6031 4.0 נק"ז

ד"ר משה קמנסקי

  • יום ב 10:00 - 08:00
  • יום ה 12:00 - 10:00

הקורס מציג את התורה הבסיסית של המספרים הטבעיים, ויתמקד ברובו בתוצאות קלאסיות, כגון פירוק יחיד לראשוניים, משפט השאריות הסיני ומשפט ההדדיות הריבועית. בהמשך, יוצגו שיטות והקשרים מתחומים אחרים, כגון אלגברה, אנליזה וטופולוגיה, ויוצגו שימושים בתחום ההצפנות.

מבוא לאנליזה
Pdf 201.1.1051 4.0 נק"ז

ד"ר יזהר אופנהיים

  • יום ב 14:00 - 12:00
  • יום ד 10:00 - 08:00

מרחבים מטריים ונורמיים. שקילות הנורמות במרחבים סוף מימדיים. קומפקטיות ומשפט היינה-בורל. התכנסות של סדרות וטורים של פונקציות נקודתית, במידה שווה ובנורמות אחרות. גזירה ואינטגרציה איבר-איבר של טורי פונקציות, שימושים לטורי חזקות. שלמות: שלמות של מרחב הפונקציות הרציפות בקטע סגור ובמרחב מטרי קומפקטי, בוחן M של ויירשטראס. משפט הקטגוריה של בייר, פונקציונלים לינאריים חסומים ומשפט בנך-שטיינהאוס. קומפקטיות במרחבי פונקציות ומשפט ארצלה אסקולי. מבוא לטורי פורייה: סכימת צ‘זרו, קונבולוציות ומשפט פייר. משפט הקירוב של ויירשטראס. התכנסות ב-L^2. התכנסות נקודתית, גרעין דיריכלה וקריטריון דיני.

קבוצות פתוחות, סגורות, קומפקטיות במרחב האוקלידי. נורמות מטרציאליות ושקילות הנורמות. גבולות ורציפות בכמה משתנים. מסילות וקשירות מסילתית. נזגרות חלקיות וכווניות, הגרדיינט ומושג הדיפרנציאביליות. משפטי הפונקציה הסתומה, הפתוחה וההפוכה. כופלי לגרנז‘. אופטימיזציה, מטריצת ההסיאן ונקודות קריטיות. אינטגרל רימן הרב-מימדי: משפט פוביני, משפט שינוי המשתנה.

מבוא לגיאומטריה אלגברית
Pdf 201.1.6171 4.0 נק"ז

פרופ' איליה טיומקין

  • יום ג 11:00 - 09:00
  • יום ה 14:00 - 12:00

  1. המרחב האפיני והמרחב הפרויקטיבי, העתקות אפיניות ופרויקטיביות, שיכוני סגרה וורונזי, משפט דזרג, משפט פאפוס, היחס הכפול, הדואליות הפרויקטיבית
  2. עקומות מישוריות: עקומות רציונליות, מערכות לינאריות, שניוניות ומשפט הפרפר, משפט פסקל, משפט שאל, מבנה החבורה על קוביקה, משפט בזו
  3. יריעות אלגבריות אפיניות: משפט הבסיס של הילברט, טופולוגיית זריסקי, רכיבי אי-פריקות, משפט האפסים של הילברט, ההתאמה בין אידיאלים רדיקאליים לקבוצות אלגבריות, מורפיזמים והעתקות רציונליות בין יריעות אלגבריות אפיניות
  4. יריעות אלגבריות פרויקטיביות: חוג מדורג ואידאלים הומוגניים, ההתאמה הפרויקטיבית, מורפיזמים, ניפוחים, שקילות בירציונלית ויריעות רציונליות, יריעות גרסמן
  5. יסודות תורת המימד
  6. יסודות החלקות
  7. משטחים קוביים ו- 27 ישרים. ככל שיאפשר הזמן, ידונו נושאים נוספים כגון יריעות אלגבריות מופשטות, ומשפט שבלה, או משפט רימן-רוך ושימושיו.

סדר-מזעריות: טופולוגיה ללא דוגמאות נגדיות
Pdf 201.1.6141 4.0 נק"ז

פרופ' אסף חסון

  • יום א 14:00 - 12:00 בגולדברגר [28] חדר 201
  • יום ג 16:00 - 14:00 בגולדברגר [28] חדר 301

בשנות ה-80 העלה א. גרותנדיק תכנית לפיתוח ”טופולוגיה שקולה“ שלא תסבול מהשפע העצום של דוגמאות נגדיות ופתולוגיות המוכרות מהטופולוגיה הקלאסית. כיום רבים רואים בסדר-מזעריות את הגשמת תכניותו של גרותנדיק: בשדה סדר מזערי כל הפונקציות גזירות למקוטעין (ולכן גזירות אינסוף פעמים ”כמעט“ בכל נקודה), פונקציות במשתנה אחד הן מונווטוניות למקוטעין, קשירות שקולה לקשירות מסילתית ואקסיומת הבחירה מתקיימת עבור הקבוצות ה“גדירות“. בהקשר הסדר מזערי ניתן לפתח את כל החשבון הדיפרנציאלי הקלאסי, פרקים נרחבים מהתורה של חבורות לי, פרקים בטופולוגיה אלגברית ועוד, ועוד. סדר-מזעריות משמשת מזה זמן כלי מרכזי בגיאומטריה ממשית, בגיאומטריה דיופנטית ובתחומים נוספים.

בקורס נגדיר את המושג של תורות סדר-מזעריות ונפתח את התורה הבסיסית שלהן. נראה כי התורה של שדות סגורים ממשית היא תורה סדר-מזערית ונדון, ככל שיותיר הזמן, בשימושים.

סדנה לאנליזה
Pdf 201.1.1071 2.0 נק"ז

ד"ר יאיר הרטמן

יום ג 10:00 - 08:00 בבניין כתות לימוד [35] חדר 115

קורס זה נועד להדגים שימושים ולהוות השלמה לשיעורי ”אינפיטיסמלי גיאומטרי 1“ 201.1.1031 (וכן לקורס ”מבוא לאנליזה“ 201.1.1051). הקורס נלמד במקביל לקורס חשבון אינפי גיאומטרי 1 ותכניו עוקבים אחרי הסילבוס שלו. לצד תרגול הידע של אינפי, יושם דגש על שיפור יכולות הדיון המתמטי של הסטודנטים. במסגרת הסדנה, הסטודנטים יעבדו בקבוצות קטנות ויתרגלו שיתוף פעולה ואת יכולות הדיון המתמטי שלהם: איך חושבים ביחד, איך מזקקים את העיקר מהטפל ואיך מציגים רעיון מתמטי לאחרים.

  1. אלומות (sheaves) על מרחבים טופולוגיים.
  2. סכמות אפיניות (affine schemes).
  3. סכמות ומורפיזמים ביניהן.
  4. אלומות קוואזי-קוהרנטיות.
  5. מורפיזמים מופרדים (separated) ומורפיזמים נאותים (proper).
  6. אגדים וקטוריים (vector bundles) וחבורת פיקאר (Picard) של סכמה.
  7. פונקטור הנקודות (functor of points) ומרחבי מודולים (moduli spaces).
  8. מורפיזמים למרחב הפרוייקטיבי ופיצוצים (blow-ups).
  9. מורפיזמים חלקים (smooth morphisms) ותבניות דיפרנציאליות (differential forms).
  10. קוהומולוגיה של אלומות (sheaf cohomology).
  11. סכמות חבורה (group schemes).
  1. משטחי רימן
  2. פונקציות הולומורפיות של מספר משתנים.
  3. נקודות קריטיות מבודדות של פונקציות הולומורפיות.
  4. מבוא לטופולוגיה דיפרנציאלית.
  5. טופולוגיה של נקודות סינגולריות.

מרחבי בנך ומרחבי הילברט. תכונות בסיסיות של מרחבי הילברט. מרחבים וקטורים טופולוגיים. משפט בנך-שטיינהאוס (עקרון החסימות במידה שווה), משפט ההעתקה הפתוחה ומשפט הגרף הסגור. משפט האן-בנך. דואליות. מידות על מרחבים קומפקטיים מקומית, המרחב הדואלי של $C(X)$. טופולוגיות חלשות וחלשות-$*$, משפט בנך-אלאוגלו. קמירות ומשפט קריין-מילמן. משפט סטון-ויירשטראס. אופרטורים קומפקטיים על מרחב הילברט. מבוא לאלגבראות בנך ולתורת גלפנד. נושאים נוספים ככל שיתיר הזמן.

מבוא לאלגבראות $C^*$

פרופ' אילן הירשברג

  • יום ב 18:00 - 16:00
  • יום ד 12:00 - 10:00

  1. השלמות שונות באנליזה פונציונאלית ואלגבראות בנך, תורת גלפנד.
  2. התורה הבסיסית של אלגבראות $C^*$: אלגבראות $C^*$ קומטטיביות, חיוביות, אידיאלים ומנות, מצבים והצגות, בניית גלפנד-נאימרק-סגל, אלגברה האופרטואים הקומפקטיים.
  3. סקירה של דוגמאות יסוד בתחום, כגון, אלגבראות סוף מימדיות בקירוב, אלגברת טופליץ, אלגבראות קונץ, אלגבראות סיבוב אי-רציונאלי (ככול שיתיר הזמן). מבוא לתורת-K.

נושאים נוספים ככל שיתיר הזמן.

  • יריעות טופולוגיות. חבורה יסודית ומרחבי כיסוי. שימושים.
  • הומולוגיה סינגולרית ושימושים.
  • יריעות גזירות. תבניות דיפרנציאליות ומשפט Stokes. הגדרת קוהומולגית de Rham
  • נושאים נוספים אם ישאר זמן
סילבוס:
  1. קבוצות: שייכות, איחוד, חיתוך, הפרש.

  2. מכפלה קרטזית, מושג היחס, יחסי שקילות, יחס סדר חלקי, יחס סדר קווי. הגדרת פונקציה כקבוצת סדורים.

  3. תחשיב הפסוקים: ו/או גרירה, שקילות וטבלאות האמת שלהם, ערך האמת של פסוקים בהשמה, שקילות לוגית וגרירה לוגית, טאוטולוגיות ופסוקים שקריים, הטאוטולוגיות החשובות: למשל, חוקי הפילוג, ונוסחאות דה-מורגן.

  4. תחשיב הפרדיקטים: הגדרת שפת תחשיב הפרדיקטים ומשמעותה; הגדרת מבנים; נוסחאות ופסוקים; הסתפקות במבנה ובהשמה, אמיתיות לוגית, גרירה לוגית, שקילות לוגית; השקילויות החשובות, סדר הכמתים, הכנסת השלילה פנימה.

  5. תורת הקבוצות: התאמות חד-חד-ערכיות, הרכבת פונקציות והפונקציה ההפוכה; יחסי שקילות; הגדרת העוצמה, שיוויון עוצמות ואי-שיוויון עוצמות; משפט קנטור ברנשטיין (ללא הוכחה), המשפט שכל שתי עוצמות נתנות להשוואה (ללא הוכחה); משפט קנטור על עוצמת קבוצות החזקה $|\mathbb{R}|=|\mathcal{P}(\mathbb{N})|$, $|\mathbb{Q}|=|\mathbb{N}\times\mathbb{N}|=|\mathbb{N}|$.

1) מרחב הסתברות 2) נוסחת ההסתברות השלימה 3) הסתברות מותנה, אי תלות מאורעות 4) נוסחת בייס 5) משתנה מקרי בדיד. התפלגויות בדידות: אחידה, ברנולי, בינומי, גיאומטרי, פואסון 6) משתנה מקרי רציף. התפלגויות רציפות: אחידה, מעריכית, נורמלית 7) משתנה מקרי דו ממדי בדיד 8) אי תלות של משתנים מקריים 9) תוחלת 10) שונות, שונות משותפת, מקדם מתאם

  1. מרחב מדגם, מרחבי הסתברות סימטריים, מרחבי הסתברות בדידים.
  2. מרחבי הסתברות כלליים; הסתברויות על הישר בעזרת צפיפויות.
  3. דוגמאות הקשורות לאלגוריתמים המכילים מרכיב של אקראיות.
  4. הסתברות מותנית ומאורעות בלתי תלויים.
  5. משתנים מקריים ופונקציות ההתפלגות שלהם.
  6. תוחלת, שונות ומומנטים של משתנים מקריים בדידים, רציפים ובעלי התפלגויות כלליות.
  7. פונקציות של משתנים מקריים והתוחלת שלהן.
  8. משתנים מקריים בלתי תלויים, אי שוויון צ‘בישב וחוק המספרים הגדולים.
  9. משפט הגבול המרכזי
  10. וקטורים מקריים, צפיפות משותפת (בדידה ורציפה), התפלגויות שוליות, חישוב מקדם המתאם.

מושגי יסוד, משוואות מסדר ראשון, משוואות ליניאריות מסדר שני, התמרת לפלס, קונוולוציה, מערכות משוואות, משואות מסדר n, פתרונות על ידי טורים, משוואות אוילר.

1) מרחב ההסתברות2) הסתברות מותנית, אי-תלות מאורעות, נוסחת ההסתברות השלמה, נוסחת בייס.3) משתנה מקרי בדיד. התפלגויות בדידות: אחידה, בינומית, גיאומטרית, היפרגאומטרית, בינומית שלילית, פואסון.4) משתנה מקרי רציף. התפלגויות רציפות: אחידה, מעריכית, נורמלית.5) משתנה מקרי דו-מימדי בדיד, אי-תלות של משתנים מקריים.6) תוחלת, שונות, מקדם המתאם.7) אי-שייון צ‘בישב, חוק המספרים הגדולים.8) משפט הגבול המרכזי, קירוב נורמלי.

  1. מושג הגבול, גבול של פונקציה.2. רציפות, רציפות חד-צדדית. 3. הנגזרת וכללי הגזירה היסודיים, נגזרות הפונקציות הטריגונומטריות. 4. גזירת פונקציות הפוכות ופונקציות סתומות. 5. מקסימום ומינימום. הערך הגדול ביותר של פונקציה רציפה בקטע. 6. משפט הערך הממוצע וחקירת הפונקציה. 7. נגזרת שנייה ושימושיה. קמירות וקעירות, שירטוט גרפים. 8. חישוב גבולות לביטויים לא מוגדרים. משפט לופיטל. 9. הדיפרנציאל וקרוב מסדר ראשון. משפט טיילור וקרובים מסדר גבוה. 10. אינטגרציה: הגדרה. כל פונקציה רציפה היא נגזרת. 11. שיטות אינטגרציה. הצבה, חלקים. 12. משוואה דיפרנציאלית ותנאי התחלה, פתרון על ידי הפרדת המשתנים. 13. האינטגרל המסויים. שטחים, האינטגרל כפונקציה של הגבול העליון. 14. אינטגרציית פונקציות רציונליות על-ידי שברים חלקיים. 15. אינטגרציה על-ידי הצבות טריגונומטריות. 16. אינטגרלים לא-אמיתיים. 17. נפח גוף סיבוב. 18. אורך עקומה. 19. קואורדינטות קטביות. 20. גרפים בקואורדינטות קטביות. 21. אורך עקומה ושטח בקואורדינטות קטביות.

חדו“א ג2
Pdf 201.1.9151 5.0 נק"ז

ד"ר נטליה קרפיבניק

יום ו 14:00 - 10:00

  1. וקטורים במישור ובמרחב. מכפלה סקלרית ומכפלה ווקטורית. ישרים, מישורים ושטחים במרחב.
  2. פונקציות ווקטורית. מהירות, תאוצה, וקטור משיק, אורך עקומה, עקמומיות.
  3. פונקציות של מספר משתנים. נגזרות חלקיות, דיפרנציאביליות ודיפרנציאל, כלל השרשרת, נגזרת מכוונת, גרדינט, מישור משיק, פולינום טיילור, מקסימום ומינימום.
  4. אינטגרל מרובה. אינטגרל כפול ומשולש, שטח פנים.
  5. שדות ווקטורים. אינטגרל קווי ואינטגרל משטחי. משפט גרין, משפט הדיברגנס ומשפט סטוקס.
  6. טורי מספרים. מבחני התכנסות לטורים חיובים, התכנסות בהחלט, התכנסות טורים עם סימנים מתחלפים.
  7. טורי חזקות. רדיוס התכנסות, התכנסות בקצוות, גזירה ואינטגרציה של טורי חזקות.
  1. משוואות דיפרנציאליות רגילות: פתרונות מפורשים למשוואות דיפרנציאליות מסדר ראשון. משוואות דיפרנציאליות מסדר שני. משוואות דיפרנציאליות מסדר גבוה, מערכות של משוואות דיפרנציאליות רגילות.
  2. טורי פורייה ושימושיהם: חזרה על טורי פונקציות. פיתוחי פורייה ותכונות של טורי פורייה, התכנסות של טורי פורייה, תופעת גיבס. שימושים למשוואת החום.
  3. שימושים נוספים ככל שיתיר הזמן.

פונקציות אלמנטריות בסיסיות. פונקציות חד-חד ערכיות, הפוכות, מונוטוניות, זוגיות ואי זוגיות. פונקציה מורכבת. גבול של פונקציה. המספר e. גבולות חד-צדדיים. רציפות של פונקציה. תכונות של פונקציה רציפה. 2. מושג הנגזרת. כללי גזירה. נגזרת מסדר גבוה. נגזרת של פונקציה מורכבת. כלל לופיטל. חישוב גבולות. דיפרנציאל. 3. חקירת פונקציה. תחומי עליה וירידה, קמירות וקעירות. נקודות פיתול. מקסימום ומינימום מקומיים. אסימפטוטות. חקירה מלאה של פונקציה. גמישות. שימושים בכלכלה.4. פונקציה קדומה ואינטגרל לא מסויים. כללי אינטגרציה. אינטגרלים מידיים. האינטגרל המסוים. חישוב שטחים. שימושי האינטגרל בכלכלה. אינטגרלים לא אמיתיים. 5. מושג הפונקציה של כמה משתנים. עקומות שוות ערך. נגזרות חלקיות מסדר שני. דיפרנציאל שלם. כלל השרשרת. פונקציות סתומות ונגזרתן. פונקציות הומוגניות ותכונותיהן. 6. אקסטרמום של פונקציה של שני משתנים. מקסימום ומינימים מקומי. תנאי הכרחי לקיום אקסטרמום מקומי. תנאי מספיק. אקסטרמום בתנאי. שיטת כופלי לגרנז‘. 7. מטריצות. מושגים יסודיים על מטריצות. פעולות אלמנטריות במטריצות. מטריצה הפוכה. פתרון מערכת של משוואות ליניאריות בעזרת מטריצה הפוכה.

מבוא למשואות דיפרנציאליות ג
Pdf 201.1.9271 4.5 נק"ז

ד"ר סאק גבריאליאן

  • יום ג 17:00 - 15:00
  • יום ה 10:00 - 08:00

  1. משוואות דיפרנציאליות רגילות: פתרונות מפורשים למשוואות דיפרנציאליות מסדר ראשון. משוואות דיפרנציאליות מסדר שני. משוואות דיפרנציאליות מסדר גבוה, מערכות של משוואות דיפרנציאליות רגילות.
  2. טורי פורייה: חזרה על טורי פונקציות. פיתוחי פורייה ותכונות של טורי פורייה, התכנסות של טורי פורייה, תופעת גיבס. שימושים למשוואות דיפרנציאליות רגילות מחזורית.
  3. טרנספורם לפלס, שימושים למשוואות דיפרנציאליות רגילות.
  1. מבוא: שדות המספרים הממשיים והמרוכבים, פולינומים.
  2. מערכת משואות ליניאריות ופתרונן בשיטת האלימינציה של גאוס.
  3. מרחבים וקטוריים: דוגמאות (מרחב אוקלידי דו- ממדי ותלת- ממדי, מרחבי פונקציות, מרחבי מטריצות),מושגים בסיסיים, בסיס ומימד של מרחב וקטורי. ישום מרחבים וקטוריים בפתרונות של מערכות משואות ליניאריות.
  4. מטריצה הופכית, דטרמיננטה, מכפלה סקלרית.
  5. טרנספורמציות ליניאריות: גרעין ותמונה, מטריצה של טרנספורמציה, החלפת בסיס.
  6. ערכים עצמיים, מציאת וקטורים עצמיים ולכסון מטריצות.
  1. מערכת המספרים הממשיים, אי שיויונים במספרים ממשיים, מערכת המספרים המרוכבים, ההצגות הקרטזית, הפולרית והמעריכית, משפט ד‘מואבר, חישוב שורשים.
  2. מערכות משוואות לינאריות מעל המספרים הממשיים או המרוכבים, קבוצת הפתרון והצגתה הפרמטרית, מטריצות מדורגות, ומטריצות מדורגות מצומצמות, הצבה לאחור והצבה לפנים וסיבוכיות התהליכים, אלגוריתם הדירוג של גאוס וסיבוכיותו, אלגוריתם הצימצום וסיבוכיותו
  3. המרחב הוקטורי, תת-מרחבים וקטוריים, צירופים לינאריים, המרחב הנפרש ע“י קבוצת וקטורים, תלות ואי-תלות לינאריים, המימד של מרחב וקטורי, מרחבי שורה ומרחבי עמודה של מטריצות, הדרגה של מטריצה.
  4. העתקות לינאריות בין מרחבים וקטוריים, העתקות הפיכות ואיזומורפיזמים, הצגה מטריצית של העתקות לינאריות סוף מימדיות, היפוך מטריצות ריבועיות, הרכבת העתקות, כפל מטריצות, האלגברה של מטריצות, הגרעין והתמונה של העתקה לינארית וחישוב בסיסים עבורם, מעבר בין בסיסים, משפט המימד עבור העתקות לינאריות המשלים האורתוגונלי ,Cauchy-Schwarz 5. מרחבי מכפלה פנימית, נורמה, קבוצות אורתונורמליות, אי שיויון טרנספורמציות אורתוגונליות ומטריצות ,Gram-Schmidt של תת-מרחב, סדרות אותוגונליות, האלגוריתם של אורתוגונליות. , Laplace המטריצה הנילוית ונוסחת , Laplace 6. הדטרמיננט של מטריצה ריבועית, מינורים וקופקטורים, פיתוחי טרנספורמציות דימיון ואינוריאנטות שלהן ( הדטרמיננט והעכבה). ,P ע“י מטריצה הפיכה A הצמדה של מטריצה
  5. ערכים עצמיים, וקטורים עצמיים ומרחבים עצמיים, ליכסון ודימיון, הפולינום האופייני, הריבוי האלגברי והריבוי הגיאומטרי של ערך עצמי, משפט הספקטרלי עבור מטריצות הרמיטיות. Syllabus

מושגי יסוד, שדות כוונים. משוואות דיפרנציאליות מסדר ראשון, משוואות ספרביליות ומדויקות, גורם אינטגרציה. שיטות ישירות לפתרון משוואות דיפרנציאליות מסדר ראשון, משוואות ברנולי. קירובי אוילר. דוגמאות, גידול אוכלוסיה. משוואות דיפרנציאליות מסדר שני. משוואות עם מקדמים קבועים, מרחב הפתרונות, הורונסקיאן. משוואות לא הומוגניות, וריאציה של הפרמטרים. מערכות של שתי משוואות מסדר ראשון עם מקדמים קבועים. דוגמאות ושימושים.

גבולות ורציפות של פונקציות, יישומים פונקציות גזירות, יישומים כללי גזירה, גזירה של פונקציות סתומות, יישומים חקירת פונקציות, פונקציות מרובות משתנים, נגזרות חלקיות, יישומים האינטגרל המסוים, האינטגרל הלא מסוים, יישומים של אינטגרלים, טכניקות אינטגרציה, פולינומי טיילור, משוואות דיפרנציאליות פשוטות

אלגברה ליניארית להנדסה
Pdf 201.1.9531 4.5 נק"ז

ד"ר סטיוארט סמית

  • יום א 12:00 - 10:00
  • יום ג 12:00 - 10:00

. מבוא: מושגים יסוד מתורת הפונקציות:שדות מספריים (רציונליים, ממשיים).שדה המספרים המרוכבים), הצגה אלגברית, הצגה קוטבית (טריגונומטרית), נוסחת אוילר, מציגות שרשרם הגדרת שדה. שדות סופיים Zp.2. מערכת משוואות ליניאריות מעל השדות הנ“ל:הגדרת מושגים בסיסיים. מערכות שקולות, פעולות יסודיות, פתרון על ידי שיטת האלימינציה של גאוס, מערכת משוואות ליניאריות ומטריצות, הצגה מטריצאלית של מערכת ופתרון של מערכת בעזרת ההצגה. דרגת מטריצה, דרגות חופש. צורה קנונית, מערכות הומוגניות. פתרון כללי למערכות לא הומוגניות בעזרת פתרון כללי להומוגנית המתאימה.3. מרחבים ווקטוריים מעל שדה:הגדרה ודוגמאות (מרחב שורות, מרחב מטריצות, מרחב פולינומים, מרחב פונקציות). תת-מרחבים. דוגמאות, קריטריון של תת-מרחב. חיתוך וחיבור תת מרחבים. קומבינציה ליניארית של וקטורים. פרישה ליניארית. תלות ואי תלות ליניארית. בסיס וממד. משפט המימד עבור סכום תתי-מרחבים. מרחב השורה ומרחב העמודה של מטריצה, דרגה של מטריצה, משוואות ליניאריות ומרחבים וקטוריים, קואורדינטות.4. מטריצות:כפל מטריצות, מטריצות ריבועיות, חזקות ופולינומים של מטריצות, אלכסון ועקבה, סוגים של מטריצות, מטריצות הפיכות, חישוב של מטריצה הופכית, שינוי בסיס.5. דטרמיננטות:מקרים פרטיים (n=2,3), הגדרה רקורסיבית, פיתוח לפי שורה ועמודה, תכונות (תשובות dif=0, כפליות,מולטילינאריות), חישוב דטרמיננטות שרירותיות, יישומים: כלל קרמר, מטריצה צמודה וחישוב של מטריצה הופכית.6. פולינומים מעל שדה: התחלקות, פירוק לגורמים ((adjoint, מחלק משותף גדול ביותר.7. טרנספורמציות ליניאריות:הגדרות, דוגמאות (כולל הגדרת אופרטור ליניארי, איזומורפיזם), גרעין ותמונה של טרנספורמציות ליניאריות, משפט המימד, הצגה מטריציונית, החלפת בסיס ודמיון מטריצות.8. ערכים עצמיים ווקטורים עצמיים:לכסון של אופרטורים ליניאריים. הפולינום האופייני, חישוב ערכים עצמיים ווקטורים עצמיים של מטריצה, לכסון מטריצות. 9. מרחבי מכפלה פנימית:הגדרות, אי שוויון קושי שוורץ, אי שוויון בסל, בסיסים אורטוגונליים ואורטונורמליים, תהליך האורטוגונליזציה של גראם שמידט.

  1. מבוא: שדות המספרים הממשיים והמרוכבים, פולינומים. מערכות משואות ליניאריות ופתרונן בשיטת האלימינציה של גאוס. 2. מרחבים וקטוריים: דוגמאות, מושגים בסיסיים, בסיס ומימד של מרחב וקטורי. ישום מרחבים ווקטוריים בפתרונות של מערכות משואות ליניאריות. 3. מטריצה הופכית, דטרמיננטות. 4. מכפלה סקלרית, אורתוגונליות ותהליך גראם שמידט.5. טרנספורמציות ליניאריות: גרעין ותמונה, מטריצה של טרנספורמציה, החלפת בסיס.6. ערכים עצמיים, מציאת וקטורים עצמיים ולכסון מטריצות.

. מד‘’ח לינאריות מסדר 2: מיון, צורה קנונית.2. טורי פוריה (הגדרה, משפט פוריה, המשכיות זוגית ואי-זוגית, נגזרת, התכנסות במידה שווה).3. דוגמאות: משוואת החום (בעיות דיריכלה וניומן), משוואת הגלים (mixed type problem), משוואת הפוטנציאל על מלבן.4. סופרפוזיציה של פתרונות; משוואות אי-הומוגניות.5. משוואת החום האי-סופית והחצי אי-סופית: אינטגרל פוריה, פונקציית גרין, עקרון דוהמל.6. משוואת הגלים האיסופית והחצי אי-סופית: פתרון דלמבר.7. משוואת הפוטנציאל על העיגול: נוסחת פואסון, פתרון כטור.

  1. ישרים ומישורים. המכפלה הווקטורית. פונקציות וקטוריות ממשיות, מסילות במישור, משיקים, תנועה על מסילה 2. פונקציות של כמה משתנים: קבוצות פתוחות וסגורות, גבולות, רציפות, גזירות, הנגזרת הכוונית, נגזרות חלקיות, גרדיינט, שדות סקלריים ושדות וקטוריים, כלל השרשרת, היקוביאן. נגזרות סתומות ומשפט הפונקציות הסתומות. בעיות אקסטרמום במישור ובמרחב: ההסיאן ומבחן הנגזרת השניה, כופלי לגרנז‘. 3. אינטגרלים קווים במישור ובמרחב, הגדרה בסיסית ותכונות יסוד, עבודה, אי תלות במסלול, הקשר עם הגרדיינט, בניית פונקציות פוטנציאל. שימושים למשוואות דיפרנציאליות רגילות: משוואות דיפרנציאליות מדויקות וגורם אינטגרציה. אינטגרליים מסילתיים מהסוג השני ואורך מסילה. 4. אינטגרלים כפולים ומשולשים - הגדרות ותכונות בסיסיות, משפט פוביני, החלפת משתנה והיקוביאן, קואורדינאטות פולריות במישור וגליליות וכדוריות במרחב. משפט גרין במישור. 5. הצגות משטחים במרחב - הצגה פרמטרית, נורמל למשטח, שטח של משטח פרמטרי, אינטגרל משטחי ורפרמטריזציה. 6. רוטור ודיברגנץ של שדות וקטוריים. משפטי גאוס וסטוקס.

תורת הקבוצות. קבוצה, תת-קבוצות. קבוצת חזקה. מכפלה קרטזית של קבוצות. עקרון החיבור ועקרון הכפל . חליפות, תמורות וצירופים . בינום של ניוטון. עקרון האינדוקציה. עקרון ההכלה וההפרדה. עקרון שובץ ויוניםנוסחאות רקורסיה. פונקציה יוצרת.יחסים ופונקציות. תכונות של יחסים .יחס שקילות. מחלקת השקילות . קבוצת המנה. יחסי סדר. תכונות של פונקציות. פונקציות על ופונקציות חח‘’ע. הרכבת פונקציות .פונקציה הפיכה. פונקציה הפוכה.גרפים, תת גרפים, משלים. איזומורפיים של גרפים. נוסחת אוילר. גרפים מישורים. מעגלי ומסלולי אוילר.עציםתחשיב הפסוקים. פעולות על פסוקים. נוסחאות לוגיות. טאוטולוגיות וסתירות. שקילות לוגית. גרירות לוגית. צורה הדיסיונקטיבית הנורמלית של פסוק. דואליות. מערכות שלמות של קשרים.תחשיב היחסים . כמתים. שפת תחשיב הפרדיקטים. נוסחאות. מבנים. שקילות של נוסחאות. פעולות על נוסחאות עם כמתים. צורה פרנכסית נורמלית.מבנים אלגבריים. חבורות, חוגים. ושדות. חוג השלמים מדולו n. אלגברה בוליאנית.

  1. המספרים הממשיים. סופרימום ואינפימום של קבוצה. 2. סדרות מתכנסות. תת-סדרות. סדרות קושי. משפט בולצנו-ויירשטראס. גבולות עליונים ותחתונים. 3. טורים. סכומים חלקיים. טורים מתכנסים ומתבדרים. תנאי קושי. טורים של מספרים אי-שליליים. מבחני השורש והמנה. טורים כלליים. מבחן לייבניץ לטורים עם סימנים מתחלפים. שינוי סדר הסכימה (ללא הוכחה). 4. גבול של פונקציה. פונקציות רציפות. רציפות של פונקציות אלמנטאריות. תכונות של פונקציות רציפות בקטע סגור: חסימות וקיום האקסטרמום. רציפות במידה שווה, משפט קנטור. 5. הנגזרת של פונקציה. משפט הערך הממוצע. נגזרות מסדר גבוה. כלל לופיטל. משפט טיילור. שארית לגרנז‘.
  1. פונקציות. תחום הגדרה וטווח. גרף. מונוטוניות, זוגיות, מחזוריות. הרכבת פונקציות. פונקציה הפוכה.
  2. סדרות. גבולות של סדרות.
  3. גבול של פונקציה בנקודה. רציפות.
  4. נגזרת. משמעות גאומטרית ופיסיקלית. כללי שרשרת. נגזרות מסדר גבוה.
  5. משפט לגרנז‘ (משפט הערך הממוצע לפונקציות גזירות). כללי לופיטל.
  6. בעיות קיצון. אקסטרמומים של פונקציה רציפה בקטע סגור.
  7. חקירת פונקציות ובניית גרפים.
  8. דיפרנציאל. קירוב ליניארי. נוסחאות טיילור ומקלורן.
  9. אינטגרל בלתי מסוים. הגדרה ותכונות. אינטגרלים מידיים.
  10. הצבה ואינטגרציה לפי חלקים.
  11. אינטגרל מסוים. נוסחת ניוטון - ליבניץ. משפט הערך הממוצע לפונקציות רציפות. אינטגרל לא אמיתי.
  12. חישוב שטחים, אורכי עקומה ונפחי גופי סיבוב. חישוב מסה ומרכז כובד.
  13. קאורדינטות קוטביות. חישוב שטחים ואורכי עקומה בקואורדינטות קוטביות.
ספרות:
  1. G.B. Thomas and L.R. Finney, Calculus and Analytic Geometry, 9th Ed, Addison-Wesley (World Student Series), 1996.

  2. ה.אנטון, חשבון דיפרינציאלי ואינטגרלי א‘, האוניברסיטה הפתוחה, רמת אביב, תל-אביב, תשנ“ט, 1999.

. מרחב הסתברות: מרחב מדגם, פונקציה הסתברות, מרחב הסתברות סימטרי סופי, קומבינטוריקה. הסתברות גיאומטרית. הסתברות מותנית, אי-תלות של מאורעות, נוסחת ההסתברות השלמה, נוסחת בייס.2. משתנה מקרי בדיד, התפלגויות מיוחדות: אחידה, בינומית, גיאומטרית, בינומית שלילית, היפרגיאומטרית ופואסונית, תהליכי פואסון. 3. משתנה מקרי רציף, פונקצית צפיפות, פונקצית התפלגות מצטברת. התפלגויות מיוחדות: אחידה, מעריכית, גמה ונורמלית. טרנספורמציה של משתנה מקרי מעורב.4. התפלגות של מקסימום ומינימום. משתנה מקרי מעורב.5. מומנטים של משתנה מקרי. תוחלת ושונות, אי-שוויון צ‘בישב.6. וקטור מקרי, פונקציית הסתברות משותפת, צפיפות משותפת, התפלגויות שוליות.7. משפט הגבול המרכזי. קירוב נורמלי. חוק המספרים הגדולים.

  1. פעולות על קבוצות, סימון לוגי, יחסים.

  2. מניה בסדר של אובייקטים קומבינטוריים: מספרים שלמים, פונקציות, עיקרונות ראשונים של פירוט.

  3. קומבינטוריקה אלמנטרית: קבוצות, רב-קבוצות וסידוריהן; מקדמים בינומיאליים ומולטינומיאליים.

  4. עקרון ההכלה ודחייה, פונקצית אוילר.

  5. גרפים: הצגת גרפים ואיזומורפיזם.

  6. רקורסיה ופונקציות יוצרות: הגדרות רקורסיביות, פונקציות יוצרות רגילות ואקספוננציאליות, רקורסיה לינארית עם מקדמים קבועים.

  7. אריתמטיקה מודולרית: קונגרואנטיות של מספרים שלמים, $\mathbb{Z}_m$, האיברים ההפיכים ב-$\mathbb{Z}_m$.

  8. מבנים אלגבריים: אקסיומות ודוגמאות של חבורות, חבורות ותתי חבורות ציקליות, מחלקות ומשפט לגרנז‘. חוגים ושדות סופיים.

משוואות דיפרנציאליות רגילות מושגי יסוד: משוואות מסדר ראשון, פתרון כללי, בעיות תנאי התחלה, פתרון פרטי. משוואות לינאריות, עם משתנים נפרדים, מדויקות, הומוגניות. גורם אינטגרציה. משפט הקיום ויחידות (ללא הוכחה). מערכת משוואות לינאריות מסדר ראשון. פתרון בעזרת חשבון מטריצות. משוואות לינאריות מסדר שני. משוואות לא הומוגניות, וורונסקיאן. משוואת אוילר. משוואות ליניאריות מסדר n. התמרות אינטגרליותהתמרת לפלס, תכונות התמרת לפלס. קונבולוציה ומשפט הקונבולוציה. פונקצית הביסייד (מדרגה), פונקציות רציפות למקוטעין, פונקצית דלטה של דירק. פתרון משוואות ליניאריות לא הומוגניות באמצעות התמרת לפלס.התמרת פוריה, תכונות התמרת פוריה. קוסינוס וסינוס התמרת פוריה. קונבולוציה ומשפט הקונבולוציה. פתרון משוואות אינטגרליות באמצעות התמרת פוריה.

  1. טורים מספריים חיוביים וכלליים. התכנסות בהחלט ובתנאי. מבחני שורש והמנה. מבחן ליבניץ

  2. טורי חזקות.

  3. משוואות דיפרנציאליות מסדר ראשון: משוואות ניתנות להפרדת משתנים, משוואות מדויקות, משוואות לינאריות ומשוואות ברנולי. קיום ויחידות.

  4. משוואות דיפרנציאליות מסדר שני: שיטות להורדת סדר, משוואות לינאריות, ורונסקיאן, וריאציה של פרמטרים, משוואות לינאריות עם מקדמים קבועים ושיטת השוואת מקדמים. משוואות דיפרנציאליות מסדר $n$. משוואות אוילר.
  5. מערכות של משוואות דיפרנציאליות: שיטת חילוץ, שימוש באלגברה לינארית.
  1. מרחבים נורמיים ומרחבי מכפלה פנימית, הקירוב הטוב ביותר והטלות אורתוגונליות, מערכות אורתונורמליות. התכנסות במרחבים נורמיים. מערכות אורתונורמליות אינסופיות, שוויון פרסבל ומערכות אורתונורמליות שלמות.

  2. פולינומים אורתוגונליים. משפט הקירוב של ויירשטראס. שלמות של פולינומים אורתוגונליים בקטע סופי.

  3. טורי פורייה. שלמות, התכנסות נקודתית ותנאים להתכנסות במידה שווה.

  4. טרנספורם פורייה. משפט פלנשרל. נוסחת ההיפוך של פורייה. קונבולוציות. פולינומי הרמיט.

  5. משוואות שטורם-ליוביל בקטע סופי. אורתוגונליות של פונקציות עצמיות. קיום ושלמות של מערכת פונקציות עצמיות עבור בעיית שטורם-ליוביל רגולארית (עם הוכחה חלקית).

ביבליוגרפיה:
  1. Hartman, Philip. Ordinary differential equations. Corrected reprint of the second (1982) edition. With a foreword by Peter Bates. Classics in Applied Mathematics, 38. Society for Industrial and Applied Mathematics (SIAM), Philadelphia, PA, 2002.

  2. Jackson, Dunham. Fourier series and orthogonal polynomials. Reprint of the 1941 original. Dover Publications, Inc., Mineola, NY, 2004.

  3. K?rner, T. W. Fourier analysis. Second edition. Cambridge University Press, Cambridge, 1989.

  1. שדות: הגדרת שדה, מספרים מרוכבים.

  2. משוואות לינאריות: פעולות אלמנטריות, דירוג, מערכות הומוגניות ולא הומוגניות, הצגת פתרונות.

  3. מרחבים ווקטוריים: דוגמאות, תת-מרחבים,תלות ליניארית, בסיסים, מימד.

  4. חשבון מטריצות: חיבור וכפל מטריצות, פעולות אלמנטריות, מטריצה הופכית, דטרמיננטה, כלל קרמר.טרנספורמציות לינאריות: דוגמאות, גרעין ותמונה, הצגה מטריציאלית.

  1. פונקציות בעלות ערכים מרוכבים, האקספוננט המרוכב. טורי פורייה של פונקציות מחזוריות ורציפות למקוטעין. פעולות בסיסיות והשפעתן על מקדמי פורייה: הסטה, מודולוציה, קונבולוציה, נגזרת.
  2. התכנסות במידה שווה: ממוצעי צ‘זרו, גרעיני דיריכלה ופייר, משפט פייר. משפט הקירוב של ויירשטראס לפולינומים טריגונומטריים ולפולינומים. יחידות של מקדמי פורייה. הלמה של רימן-לבג. בעיית המומנטים של האוסדורף. התכנסות של סכומים חלקיים וטורי פורייה עבור פונקציות גזירות פעמיים ברציפות.
  3. התכנסות נקודתית: קריטריון דיני. התכנסות בנקודות קפיצה ותופעת גיבס.
  4. תורת $L^2$: סדרות אורתונורמליות ובסיסים אורתונורמליים. הקירוב הטוב ביותר, אי-שוויון בסל, שוויון פרסבל והתכנסות בנורמת $L^2$.
  5. שימושים למשוואות דיפרנציאליות חלקיות: משוואות החום והגלים בקטע עם תנאי שפה קבועים. בעיית דיריכלה עבור משוואת לפלס בדיסק, גרעין פואסון.

חובה להירשם במקביל לקורס 201.1.9631

הערות

  • קורסים המסומנים ב-(*) מהווים דרישת קדם לרישום לתאר מוסמך
  • קורסים המסומנים ב-(#) הינם קורסי חובה אפשריים למוסמך, בתחומים המתאימים, כמתואר בתכנית הלימודים למוסמך. לפחות שניים כאלה, מתחומים שונים, נדרשים לעמידה בדרישות התואר.
  • קורסים לתארים מתקדמים פתוחים גם בפני תלמידי בוגר חזקים, להם ציון ממוצע של 85 ומעלה, ואשר ניתן להם אישור של המרצים בקורם ושל ראש ועדת ההוראה
  • אנא עיינו בתכניות הלימודים המלאות לתואר בוגר ולתארים מתקדמים למידע על הדרישות והאפשרויות המלאות.