16–2015–א

  • מושגי יסוד בטופולוגיה של מרחבים מטריים: קבוצות סגורות ופתוחות, קשירות, קומפקטיות, שלמות.
  • מרחבים נורמיים ומרחבי מכפלה פנימית. כל הנורמות על $\mathbb{R}^n$ שקולות.
  • משפט על קיום ויחידות של נקודת שבת להעתקת כווץ במרחב מטרי שלם.
  • העתקות בין מרחבים אוקלידיים. נגזרת חלקית. גרדיאנט. כלל השרשרת. פיתוח טיילור בכמה משתנים.
  • משפט ההעתקה הפתוחה ומשפט הפונקציות הסתומות. כופלי לגרנז‘. בעיות מינימום ומקסימום.
  • אינטגרל רימן. קבוצות בעלות מידה אפס. תנאי האינטגרביליות של לבג. תכולה לפי ז‘ורדאן.
  • משפט פוביני. היעקוביאן ונוסחת חילוף המשתנה.
  • אינטרגלים מסילתיים. תבניות סגורות ומדויקות. משפט גרין.
  • אם יתיר הזמן, אינטרגלים משטחיים ומשפטי סטוקס וגאוס.

משוואות דיפרנציאליות רגילות מסדר ראשון, משפטי קיום ויחידות, משוואות ליניאריות מסדר N, ורונסקיאן, שדות וקטוריים, משוואות אוטונומיות, מערכות משוואות ליניאריות מסדר ראשון, מערכות משוואות לא-ליניאריות ויציבות.משוואות דיפרנציאליות רגילות מסדר ראשון, משפטי קיום ויחידות, משוואות ליניאריות מסדר N, ורונסקיאן, שדות וקטוריים, משוואות אוטונומיות, מערכות משוואות ליניאריות מסדר ראשון, מערכות משוואות לא-ליניאריות ויציבות.

סיגמא-אלגבראות, משפט הרחבת המידה ומידת לבג על הישר, מרחבי מידה כלליים, פונקציות מדידות, תורת האינטגרציה, משפטי התכנסות (משפט אגורוב, התכנסות במידה, כמעט תמיד ובנורמות $L_p$), משפט לוזין, מרחבי $L_p$, מידות במרחבי מכפלה ומשפט פוביני, מידות מסומנות ומרוכבות ופירוק האן, משפט רדון ניקודים ושימושים, גזירה, נושאים נוספים ככל שיתיר הזמן.

  • ממוצעי צ‘זרו: קונבוליציות, גרעיני סומביליות חיוביים ומשפט פייר.
  • שימושים של משפט פייר: משפט הקירוב של ויירשטראס עבור פולינומים, משפט ההתפלגות במידה אחידה של וייל, בניה של פונקציה רציפה שאיננה גזירה בשום מקום (ככל שיתיר הזמן).
  • התכנסות והתבדרות נקודתית ובמידה שווה של הסכומים החלקיים: גרעין דיריכלה ותכונותיו, בניה של פונקציה רציפה עם טור פורייה מתבדר, בוחן דיני.
  • קירובים בנורמת המכפלה הפנימית. נוסחת פרסבל. התכנסות בהחלט של טורי פורייה של פונקציות גזירות ברציפות. ככל שיתיר הזמן, הבעיה האיזופרימטרית או שימושים שונים.
  • שימושים למשוואות דיפרנציאליות חלקיות. משוואות החום והגלים במעגל ובקטע. גרעיו פואסון ומשוואת לפלס במעגל.
  • טורי פורייה של פוקציונלים לינאריים על מרחב הפונקציות הגזירות ברציפות כמה פעמים. מושג הדיסטריבוציה על המעגל.
  • אם יתיר הזמן, סדרות מוגדרות חיובית ומשפט הרגלוץ.
  • טרנספורם פורייה על הישר: קונבולוציות, נוסחת ההיפוך, משפט פלנשרל, פונקציות הרמיט. אם יתיר הזמן, דיסטריבוציות על הישר, ושימושים למשוואות דיפרנציאליות חלקיות.
  • אנליזת פורייה על חבורות ציקליות סופיות, ואלגוריתם טרנספורם פורייה מהיר.

מערכת אקסיומות לתחשיב הפרדיקטים. משפט השלמות ומשפט הקומפקטיות. מבוא לתורת המודלים: משפטי סקולם-לוונהים ותתי מבנים אלמנטריים. כריעות ואי-כריעות של תורות. משפט אי השלמות הראשון של גדל.

גרפים ותת גרפים, עצים, קשירות, מסלולי אוילר, מעגלים המילטוניים, זיווגים, צביעות של גרפים, גרפים מישוריים, מבוא לתורת רמזי, גרפים מכוונים, שיטות הסתברותיות ואלגבריות בתורת הגרפים.

  • חבורה כסמטריה. דוגמאות: חבורות ציקליות, דיהדרלית, סמטריות. חבורות מטריצות.
  • הומומורפיזם. תת חבורות ותת חבורות נורמליות. חבורות מנה. משפט לגרנז‘. משפטי האיזומורפיזם. מכפלה ישרה של חבורות.
  • פעולה של חבורה על קבוצה. משפט קיילי.
  • אוטומורפיזמים של חבורות.
  • משפטי סילו ומיון חבורות מסדר נמוך.
  • סדרת הרכב ומשפט ז‘ורדן-הולדר. חבורות פתירות.
  • מיון חבורות חילופיות נוצרות סופית.
  • חבורה סימטרית וסידרת הרכב שלה.
  • חוגים. אידאלים ראשוניים ומקסימליים. תחום שלמות. חוג מנה. משפטי הומומורפיזם.
  • אלגברה מולטילינארית: מרחבי מנה. מכפלה טנזורית של מרחבים וקטוריים. פעולה על חבורה סמטרית על חזקות טנזוריות. אלגברה סימטרית ואלגברה חיצונית. תבניות מולטילינאריות ודטרמיננטה.
  • נושאי רשות: חבורות סימטריות של פאונים משוכללים. חבורות חופשיות. מכפלה חצי-ישרה. תורת ההצגות של חבורות סופיות.

מבוא למושגים הבסיסיים של תורת ההסתברות:

מרחבי הסתברות גבולות של מאורעות ורציפות של הסתברות הסתברות מותנה אי-תלות של מאורעות סיגמה-אלגבראות, מרחבים רציפים, ומידת לבג משתנים מקריים והתפלגויות אי-תלות התפלגויות משותפות והתפלגויות מותנות תוחלת שונות ושונות משותפת התכנסות של משתנים מקריים: כמעט-תמיד, Lp, בהסתברות חוק המספרים הגדולים התכנסות בהתפלגות משפט הגבול המרכזי

חזרות על תורת פונקציות מרוכבות מרחבי הילברת של פונקציות אנאליתיות תורה כללית מרחב ברגמן מרחבי הרדי והרדי פרקציונל מרחב ברגמן סגל מרחבי בנך של פונקציות אנאליתיות מרחבי פרשה ושוורץ הוכחה של משפט רימן דואל של המרחב של פונקציות אנאליתיות בקבוצה פתוחה שלישיות גלפנד ואישומיים

  • יריעות טופולוגיות. חבורה יסודית ומרחבי כיסוי. שימושים.
  • הומולוגיה סינגולרית ושימושים.
  • יריעות גזירות. תבניות דיפרנציאליות ומשפט Stokes. הגדרת קוהומולגית de Rham
  • נושאים נוספים אם ישאר זמן
  1. חזרה על קטגוריות אבליות ופונקטורים אדיטיביים.
  2. חוגים, מודולים וקטגוריות מדורגים דיפרנציאליים.
  3. הקטגוריה הנגזרת של קטגוריה דיפרנציאלית.
  4. פונקטורים נגזרים. רזולציות של מודולים דיפרנציאליים.

מרחבי בנך ומרחבי הילברט. תכונות בסיסיות של מרחבי הילברט. מרחבים וקטורים טופולוגיים. משפט בנך-שטיינהאוס (עקרון החסימות במידה שווה), משפט ההעתקה הפתוחה ומשפט הגרף הסגור. משפט האן-בנך. דואליות. מידות על מרחבים קומפקטיים מקומית, המרחב הדואלי של $C(X)$. טופולוגיות חלשות וחלשות-$*$, משפט בנך-אלאוגלו. קמירות ומשפט קריין-מילמן. משפט סטון-ויירשטראס. אופרטורים קומפקטיים על מרחב הילברט. מבוא לאלגבראות בנך ולתורת גלפנד. נושאים נוספים ככל שיתיר הזמן.

16–2015–ב

מרחבים טופולוגיים ופונקציות רציפות (מרחבי מכפלה, מרחבי מנה ומרחבים מטריים). קשירות וקומפקטיות. תנאי מניה והפרדה (הלמה של אוריסון, משפט המטריזציה של אוריסון, חלוקת קטע היחידה). משפט טיכונוף וקומפקטיפיקציית סטון-צ‘ך. משפטי מטריזציה ופרה-קומפקטיות.

  • מספרים מרוכבים. פונצקיות אנליטיות, משוואות קושי-רימן.
  • העתקות קונפורמיות, טרנספורמציות מוביוס.
  • אינטגרציה. משפט קושי. נוסחת קושי. אפסים, קטבים, פיתוח טיילור, פיתוח לורן. חשבון השאריות.
  • משפט ויירשטרס ומשפט מיטג-לפלר. פונקציות שלמות. משפחות נורמליות.
  • משפט ההעתקה של רימן. פונקציות הרמוניות, בעיית דיריכלה.
  • משפטים בסיסיים והגדרות: קבוצות קמורות, צרוף קמור, למת ההפרדה, משפט הלי, משפט רדון, משפט קרתאודורי, נקודת מרכז, משפט טברברג, גרפים מישוריים, משפט קבה, הוכחת המפריד לגרפים מישוריים של ליפטון טרג`ן באמצעות קבה.
  • גרפים גאומטריים: למת החיתוכים. שימושים לבעיות ארדס: בעיות חילה בין נקודות ועקומים, בעיית המרחקים הזהים, בעיית ספירת מרחקים שונים, למת בחירה של נק בתוך עיגולים. נק בתוך סימפלקסים. ספירת חציות של קבוצת נקודות על-ידי על-מישורים. שימוש בחילות לבעיות בתורת המספרים האדיטיבית.
  • בעיות צביעה וטרנסברסלים להיפר גרפים גאומטריים: מימד וי סי, רשתות אפסילון ורשתות אפסילון חלשות לקבוצות קמורות. צביעות חסרות קונפליקטים.
  • מערכים: סדרות דבנפורט שינצל ושימושיהן לתתי מבנים במערכים.
  • תורת רמזי גאומטרית: משפט ארדס סקרס לקבוצות קמורות. שימושים של משפט דילוורס, גרפים קווזי מישוריים.
  • חלוקה ופריקות יחידה ב-$\mathbb{Z}$.
  • מספרים ראשוניים.
  • קונגרואציה.
  • שאריות רבועיות.
  • שרשים פרמיטיביים.
  • שברים משולבים.
  • מספרים אלגבריים וקרובים דיאופנטיים
  • יסודות תורת המספרים האלגברית
  • שדות: עובדות בסיסיות ודוגמאות, אפיון (קרקטריסטיקה), שדות ראשוניים
  • פולינומים: פריקות, מבחן איזנשטיין, למת גאוס
  • הרחבות של שדות: תכונת המגדל, הרחבות אלגבריות וטרנסצנדנטיות, צרוף אבר לשדה
  • בניות בסרגל ומחוגה
  • סגורים אלגבריים: קיום ויחידות
  • שדות פיצול
  • הרחבות גלואה: אוטומורפיזמים, נורמליות, ספרביליות, שדות שבת, חבורות גלואה, המשפט היסודי של תורת גלואה
  • הרחבות ציקליות
  • פתרון משואות פולינומיאליות על-ידי רדיקלים: חבורת גלואה של פולינום, הדיסקרמיננטה, נוסחאת קרנדו-טרטגליאה, חבורות פתירות, משפט גלואה אודות פתירות על-ידי רדיקלים
  • שרשי יחידה: הרחבות ציקלוטומיות, הפולינומים הציקלוטומיים ואי-פריקותם
  • שדות סופיים: קיום ויחידות, חבורות גלואה מעל שדות סופיים, אברים פרמיטיביים
  • חבורה כסמטריה. דוגמאות: חבורות ציקליות, דיהדרלית, סמטריות. חבורות מטריצות.
  • הומומורפיזם. תת חבורות ותת חבורות נורמליות. חבורות מנה. משפט לגרנז‘. משפטי האיזומורפיזם. מכפלה ישרה של חבורות.
  • פעולה של חבורה על קבוצה. משפט קיילי.
  • אוטומורפיזמים של חבורות.
  • משפטי סילו ומיון חבורות מסדר נמוך.
  • סדרת הרכב ומשפט ז‘ורדן-הולדר. חבורות פתירות.
  • מיון חבורות חילופיות נוצרות סופית.
  • חבורה סימטרית וסידרת הרכב שלה.
  • חוגים. אידאלים ראשוניים ומקסימליים. תחום שלמות. חוג מנה. משפטי הומומורפיזם.
  • אלגברה מולטילינארית: מרחבי מנה. מכפלה טנזורית של מרחבים וקטוריים. פעולה על חבורה סמטרית על חזקות טנזוריות. אלגברה סימטרית ואלגברה חיצונית. תבניות מולטילינאריות ודטרמיננטה.
  • נושאי רשות: חבורות סימטריות של פאונים משוכללים. חבורות חופשיות. מכפלה חצי-ישרה. תורת ההצגות של חבורות סופיות.

מבוא למושגים הבסיסיים של תורת ההסתברות:

מרחבי הסתברות גבולות של מאורעות ורציפות של הסתברות הסתברות מותנה אי-תלות של מאורעות סיגמה-אלגבראות, מרחבים רציפים, ומידת לבג משתנים מקריים והתפלגויות אי-תלות התפלגויות משותפות והתפלגויות מותנות תוחלת שונות ושונות משותפת התכנסות של משתנים מקריים: כמעט-תמיד, Lp, בהסתברות חוק המספרים הגדולים התכנסות בהתפלגות משפט הגבול המרכזי

  • משפט השיקוף
  • משפט המיטוט של Mostowski
  • מוחלטות של נוסחאות
  • עולם הקבוצות הניתנות לבניה
  • כפיה
  • עקביות שלילת השערת הרצף
  • עקביות שלילת אכסיומת הבחירה
  1. אלגברה קומוטטיבית דרך קטגוריות נגזרות (חוגים רגולריים ו- CM, הדואליות המקומית של גרותנדיק, שקילות MGM, קומפלקסים דואליזנטיית קשיחים).

  2. קטגוריות נגזרות ממקור גיאומטרי (של אלומות על מרחבים). פונקטורי התמונה הישרה וההפוכה, דואליות גרותנדיק, דואליות פואנקרה-ורדייה, אלומות פרוורטיות.

  3. קטגוריות נגזרות הקשורות לחוגים לא-קומוטטיביים (כולל קומפלקסים דואליזנטיים, קומפלקסים הפיכים, ותורת מוריטה נגזרת).

  4. קטגוריות נגזרות בגיאומטריה אלגברית מודרנית ותורת המיתרים (סקירה).

בתהליכים הסתברותיים מעצם הגדרתם לא ניתן לחזות את הצעד הבא של התהליך. בכל זאת, ניתן באופן מדויק לחזות את ההתנהגות ארוכת הטווח של תהליכים מסוג מסוים. בקורס הזה נחקור תהליכים מסוג מסוים, הנקראים תהליכי מרקוב, בהם הצעד הבא של התהליך תלוי רק המיקום הנוכחי שלו. התהליכים הללו קשורים באופן עמוק לרשתות חשמליות, ולמושגים מתורת האינפורמציה כגון אנטרופיה. אנחנו נחקור את התהליכים הללו בשימוש בכלים אנליטיים, ונגדיר מושגים ונוכיח משפטים שהם אנלוגיים למשפטים באנליזה קלסית, רק למקרה הבדיד. מדובר במושגים וגישות הנמצאים בחזית המחקר העכשווי.

קורס זה הוא קורס ראשון באלגברה קומוטטיבית מודרנית, ומהוה בסיס ללימודי המשך באלגברה קומוטטיבית, אלגברה הומולוגית, גיאומטריה אלגברית וכו‘.

סילבוס

  1. חוגים, אידיאלים והומומורפיזמים
  2. מודולים, משפט קיילי-המילטון ולמת נקאימה
  3. חוגים ומודולים נתריים, משפט הבסיס של הילברט
  4. הרחבות שלמות, למת הנורמליזציה של נתר, משפט האפסים של הילברט
  5. יריעות וסכמות אפיניות
  6. לוקליזציה של חוגים ומודולים
  7. משפט הפירוק הפרימרי
  8. חוגי הערכה בדידה
  9. נושאים נבחרים ע“פ בחירת המרצה

הערות

  • קורסים המסומנים ב-(*) מהווים דרישת קדם לרישום לתאר מוסמך
  • קורסים המסומנים ב-(#) הינם קורסי חובה אפשריים למוסמך, בתחומים המתאימים, כמתואר בתכנית הלימודים למוסמך. לפחות שניים כאלה, מתחומים שונים, נדרשים לעמידה בדרישות התואר.
  • קורסים לתארים מתקדמים פתוחים גם בפני תלמידי בוגר חזקים, להם ציון ממוצע של 85 ומעלה, ואשר ניתן להם אישור של המרצים בקורם ושל ראש ועדת ההוראה
  • אנא עיינו בתכניות הלימודים המלאות לתואר בוגר ולתארים מתקדמים למידע על הדרישות והאפשרויות המלאות.