אשנב למתמטיקה Ical Atom רשימת תפוצה

נניח שלמערכת המשוואות הלינאריות $Ax=b$ יש יותר מפיתרון אחד. האם קיים למערכת פיתרון אופטימלי, כלומר פיתרון בעל נורמה מינימלית? איך מוצאים את הנורמה האופטימלית ואת הפיתרון עם נורמה זו?

על השאלות האלו אנחנו נענה באמצעות כלים של דואליות, ונשתמש באחד המשפטים החשובים ביותר באנליזה פונקציונלית. בהמשך נציג רעיון פיסיקלי שיכול להסביר את המוטיבציה מאחורי השימוש בדואליות.

בהרצאה זו נציג שיטה לחישוב כל השלשות הפיתגוריות. כפי שהכותרת רומזת, אנו נשתמש במספרים מרוכבים, בתורת החבורות האבליות, ובתכונות של המספרים הראשוניים. כמו כן אספר על ההיסטוריה של הבעיה ופתרונותיה.

ביתר פרוט, התוצאה העיקרית שלנו הינה תאור המבנה של החבורה הכפלית שאבריה הם הנקודות על מעגל היחידה עם קואורדינטות רציונליות. מתוך תאור זה נקבל איפיון מדוייק של כל השלשות הפיתגוריות המצומצמות המסודרות, ונוסחה למספר השלשות הללו בעלות יתר נתון. יתר על כן, התיאור שלנו מאפשר לחשב די בקלות, בעזרת נייר ועט בלבד, את כל השלשות הללו בהנתן יתר. אנסה להדגים זאת במהלך ההרצאה.

מבחינת הקושי, הנה הידע הנדרש להבנת ההרצאה: כמה תכונות אלמנטריות של המספרים המרוכבים, והיכרות מסויימת עם חוגים קומוטטיביים וחבורות אבליות. כלומר חומר שתלמידי שנה ג‘ לתואר ראשון במתמטיקה אמורים לדעת. יתכן שאספיק להסביר בהרצאה את ההוכחה של המשפט המרכזי; זה דורש קצת ידע על חוג השלמים של גאוס, אולם אני אצטט את כל מה שצריך לדעת.

ניתן לצפות בתוכן ההרצאה כשקפים או בגרסא להדפסה, וכן במאמר

בהנתן מרחב מטרי קומפקטי $X$ (או האוסדורף קומפקטי באופן כללי יותר), אוסף הפונקציות הרציפות עם ערכים מרוכבים מהווה מרחב בנך (כלומר מרחב וקטורי עם נורמה, שהוא שלם ביחס לנורמה הזו), אך יתר על כן ניתן להכפיל בו את הפונקציות, ולכן יש לו מבנה של חוג (או ליתר דיוק אלגברה - מרחב וקטורי שהוא גם חוג). מסתבר שניתן לשחזר את כל התכונות של המרחב $X$ מתוך התכונות של של המבנה האלגברי-טופולוגי הזה. למשל, ניתן לזהות בין נקודות במרחב לבין אידאלים מקסימליים במרחב $X$.

בשנות ה-50׳, עבודה עמוקה של המתמטיקאים גלפנד ונאימרק הגדירה מערכת אקסיומות של אלגבראות שהן פונקציות רציפות על מרחבים האוסדורף קומפקטיים. אלגברה שמקיימת את האקסיומות האלה נקראת אלגברת $C^*$ קומוטטיבית. למעשה, תורה זו נותנת איפיון שקול למושג של מרחב טופולוגי האוסדורף קומפקטי.

כמובן, כפל נקודתי של פונקציות יהיה קומוטטיבי. אולם מסתבר שאם מוותרים על אקסיומה זו, מקבלים משפחה מאד טבעית של אובייקטיים אלגבריים-טופולוגיים, שעולים באופן טבעי במתמטיקה. למשל, האלגברה של המטריצות הריבועיות מגודל מסוים תהיה דוגמא לאלגברת $C^*$ לא קומוטטיבית, ולמעשה אלגבראות כאלה אף עלו באופן טבעי בעבודה של פון-נוימן ומורי שעלו מתוך ביסוס היסודות המתמטייים של תורת הקוונטים, כמו גם בחקר של תורת ההצגות של חבורות.

בסביבות שנות ה-70׳ וה-80׳, בין היתר בשל עבודותיו של המתמטיקאי זוכה מדליית פילדס אלן קון ואחרים, התגבשה התובנה שאם אלגבראות $C^*$ קומוטטיביות הן בעצם תיאור שקול של מרחבים טופולוגיים, אז יש לחשוב על אלגבראות $C^*$ כלליות כעל הכללה של מושג המרחב הטופולוגי, ולהכליל שיטות מטופולוגיה לתחום זה.

מאחר שמדובר בתחום מחקר מופשט, שמשלב בתוכו מושגים מאנליזה, טופולוגיה ואלגברה, אי אפשר יהיה להציג משפטים ובעיות מחקריות עדכניות בהרצאה זו. לכן, בהרצאה אתמקד בהסבר מדויק יותר של חלק מהמושגים שצוינו לעיל, וכן אנסה לתת מספר דוגמאות לאלגבראות $C^*$, הכללה של כלים טופולוגיים למקרה זה, ואולי אציין בקצרה כיווני מחקר מסוימים שמעניינים אותי בימים אלה, אם יתאפשר.

נאמר שלתת-קבוצה סופית $A$ של $Z^d$ יש ריצוף אם קיימת קבוצה $B$ כך ש-$Z^d$ ניתן להצגה כאיחוד זר של הזזות $A$ על ידי איברי $B$.
נאמר של-$A$ יש ריצוף מחזורי אם קיימת $B$ כנ“ל שהיא יתר על כן מחזורית ביחס ל-$d$ הזזות בלתי תלויות לינארית.

האם לכל קבוצה סופית בעלת ריצוף יש ריצוף מחזורי?

השאלה הזו עדיין פתוחה במקרה הכללי, אבל תשובה חיובית ידועה במקרים פרטיים, למשל כאשר גודל הקבוצה $A$ הוא מספר ראשוני או כאשר המימד $d$ הוא $2$ לכל היותר.

בהרצאות נציג מושגים ותיאוריה, משפטים והוכחות לגבי ריצופים והקשר שלהם לדינמיקה (וגם אלגברה ואנליזה).

בכל קופסא של דגני בוקר ישנו קופון. יש $n$ סוגים של קופונים. הקופונים שווי שכיחות. כמה קופסאות יש לקנות בממוצע על מנת להשיג לפחות קופון אחד מכל סוג?

הבעייה ידועה כבעיית אוסף הקופונים. היא הוצגה כבר ע“י דה-מואבר לפני יותר מ-300 שנה.

נציג מספר תוצאות המתייחסות לבעייה ולואריאנטים שלה וכן מספר שימושים.