אשנב למתמטיקה Ical Atom רשימת תפוצה

בהרצאה נדון בהעתקות מעניינות מחבורה כלשהיא לתוך הממשיים שנקראות קואזי-מורפיזמים. נראה שימושים שלהן בהרבה ענפים של מתמטיקה כגון: תורת הקשרים, תורת החבורות, גאומטריה וטופולוגיה

אני אנסה להציג, בצורה מאוד לא פורמלית, כמה צדדים של תורת המודלים, תחום בלוגיקה מתמטית המתמקד במבנה של קבוצות ופונקציות המוגדרות על-ידי נוסחאות בלוגיקה מסדר ראשון. לתחום שימושים מפתיעים במגוון ענפים במתמטיקה, ואני אציג אותו דרך משפחה של שימושים שקשורים בפתרונות של משוואות פולינומיות. ההרצאה לא תניח ידע קודם בלוגיקה או בפתרון משוואות פולינומיות (ולכן הדגש יהיה על אינטואיציה ולא על טענות מדויקות)

ניקח משוואה אלגברית בשני משתנים, כגון $x^7+y^7=2023$. האם יש לה מספר סופי או אינסופי של פיתרונות רציונליים? התשובה תלויה בטופולוגיה של משטח שאפשר להתאים למשוואה: אם יש לו לפחות שני חורים, אז מספר הפיתרונות הוא סופי. מאז 2021, יש גם גירסה כמעט במידה שווה. אסביר כמה מהרעיונות מסביב ושימושים.

השערת היעקוביאן היא אחת ההשערות החשובות בגיאומטריה אלגברית. בהרצאה נציג מספר תוצאות חשובות שהתגלו על ידי מתמטיקאים שניסו לפתור את ההשערה. נסמן את חוג הפולינומים מעל לשדה $k$ ובמשתנים $X_1,\ldots,X_n$ על ידי $k[X_1,\ldots,X_n]$. אחד מהניסוחים המקובלים להשערת היעקוביאן הוא הניסוח הבא:

נניח כי $F:=(F_1,\ldots,F_n)\in{\mathbb{C}[X_1,\dots,X_n]}^n$, העתקה פולינומית $\mathbb{C}^n\rightarrow\mathbb{C}^n$ שמקיימת $\det(J(F(Z))\ne 0$ לכל $Z\in\mathbb{C}^n$, אז $F$ חד-חד-ערכית ועל, וההעתקה ההפוכה $F^{-1}$ גם היא פולינומיאלית.

כאן הסימון

היא מטריצת היעקוביאן של ההעתקה $F$ בנקודה $Z=(Z_1,\ldots,Z_n)$. כלומר ההשערה אומרת שהפיכות מקומית של העתקה פולינומיאלית מעל לשדה המספרים המרוכבים מבטיחה הפיכות גלובלית. יתר על כן ההעתקה ההפוכה היא בעצמה פולינומיאלית. אחת התוצאות החשובות שהוכחו אומרת שאם השערת היעקוביאן נכונה להעתקות פולינומיאליות בכל מספר $n$ של משתנים אך רק עבור העתקות שמעלתן האלגברית היא $3$ לכל היותר, אז ההשערה נכונה להעתקות בכל מעלה — כלומר ההשערה נכונה.

תוצאה מעניינת אחרת אומרת שאם העתקה $F$ שמקיימת את תנאי היעקוביאן

היא חד-חד-ערכית על ישר אחד במישור המרוכב, אז היא הפיכה פולינומיאלית, כלומר מקיימת את מסקנת השערת היעקוביאן. תוצאה זו היא בעלת אופי גיאומטרי ומסתמכת על משפט השיכון של Abhyankar–Moh. התוצאה הקודמת קשורה לתיאוריה חשובה שנקראת Algebraic K-Theory. בהרצאה אני מקווה להציג עוד מספר תוצאות עמוקות כאילו.

בסביבות 1637 פייר דה פרמה כתב באחד מספריו ”גיליתי הוכחה נפלאה שלמשוואה $a^n+b^n=c^n$ אין פתרונות שלמים כאשר $n>2$ אך שוליים אלו צרים מלהכילה“. השערה זו, שכונתה המשפט האחרון של פרמה, נחשבה במשך כ-300 שנה לאחת הבעיות הקשות במתמטיקה עד שבשנת 1995 אנדרו ווילס הציג את ההוכחה שלו שמתבססת על כלים מודרנים וחדשניים מגיאומטריה אלגברית, מתורת המספרים, ומתורת ההצגות. בהרצאה זו אנחנו נציג את הרעיונות והמושגים ששיחקו תפקיד מרכזי בהוכחה, נדון בהוכחת המשפט, וכיצד הכל מתקשר לתחומי מחקר עכשווים.