אשנב למתמטיקה Ical Atom רשימת תפוצה

חבורה היא מבנה אלגברי, ואפשר להציג אותה באמצעות ”לוח כפל“. אבל בכל סרטון יוטיוב או שיחת מסדרון אומרים לנו שחבורה מתארת סימטריות. אז למה בדיוק מתכוונים?

תשובה אחת היא משפט קיילי, שאומר שכל חבורה סופית מופיעה כתת־חבורה של חבורת הסימטריות $S_n$.

בהרצאה הזו נראה הכללה של המשפט הזה: כל חבורה נוצרת סופית ניתנת להצגה כסימטריות של גרף שנקרא גרף קיילי (אל דאגה, נסביר בדיוק למה הכוונה!). נכיר את גרפי קיילי, ונראה כיצד תכונות של החבורה משתקפות בתכונות של הגרף, ולהיפך.

זו תהיה טעימה מתורת החבורות הגיאומטרית — תחום שמחבר בין אלגברה, גאומטריה וקומבינטוריקה. לבסוף, נגדיר את מספר הקצוות (ends) של חבורה, ונענה יחד על השאלה: כמה קצוות יכולים להיות לחבורה?

ההרצאה מיועדת לסטודנטים/ות משנה א‘ ומעלה, ולא נדרש ידע מוקדם בתורת החבורות.

שימו לב: ההרצאה נדחתה בשבוע עקב המצב

קטגוריה היא אובייקט מתמטי שמכיל מידע על אוסף של אובייקטים מתמטיים מאותו סוג, והקשרים ביניהם, כאשר התפיסה היא שהקשרים הללו כולם ניתנים לביטוי באמצעות ההעתקות ביניהם. דוגמאות כוללות את אוסף כל המרחבים הוקטוריים מעל שדה נתון (עם העתקות לינאריות), אוסף החבורות, אוסף המרחבים הטופולגיים וכדומה (כל אחת עם המבנה הטבעי של העתקה). לעתים נקודת המבט הקטגורית מאפשרת להוכיח משפטים, אבל התרומה העיקרית שלה היא בתור עקרון מארגן, שמאפשר לבטא במדויק את התכונות הטבעיות של בניות מסוימות, ואת הדמיון ביניהן בקטגוריות השונות.

בהרצאה אני אשתדל להראות פנים שונות של העקרונות הללו, בעיקר באמצעות דוגמאות ואנאלוגיות.

נניח שיש לנו סדרת אופרטורים חיוביים $T_n$ על $C([0,1])$. האם אפשר להבטיח שהתכנסות במידה שווה לכל פונקציה רציפה נובעת רק מבדיקת מספר קטן של פונקציות ”מבחן“? בשנת 1953 הוכיח קורובקין תשובה מפתיעה—כן! מספיק לבדוק את ההתכנסות על שלוש פונקציות פשוטות כדי להשליך על כולן. בהמשך, ססקין הרחיב את הרעיון הזה למרחבים כלליים יותר, וחיבר אותו למבנה הגיאומטרי של שפת שוקה.

בהרצאה נצלול אל הרעיונות המרכזיים מאחורי המשפטים הללו, נראה כיצד הם מספקים הוכחות אלגנטיות למשפטי הקירוב של ויירשטראס ופייר, ונבין מדוע התוצאות האלה הרבה יותר חזקות ממה שנדמה במבט ראשון. אם הזמן יאפשר, נרחיב את הדיון להכללות מתקדמות ולכיווני מחקר עכשוויים, כולל הקשרים ל-hyperrigidity במצב הקומוטטיבי.

ההרצאה מתאימה לשנה ב‘ ומעלה.

בפגישת האשנב אני אציג את התחום של מתמטיקה שימושית דרך עיניו של אחד מהגדולים בתחום, פרופ‘ ג‘וזף קלר ז‘’ל אשר ראה במתמטיקה שפה אוניברסלית של המדע. נתמקד בתהליך הכולל בניית מודל לתופעה פיזיקלית, ניתוחו באמצעות כלים מתמטיים מתקדמים, גיבוש תיאוריה מתמטית ובחינתה מול המציאות הניסויית. במיוחד נשים דגש על תחום האנליזה האסימפטותית – גישה מתמטית עוצמתית לפתרון בעיות בהן שיטות רגילות נכשלות – אשר פרופ‘ קלר היה אחד המייסדים שלה.

אחד הכלים השימושיים באלגבראות אופרטורים הוא הדילציה. זהו תהליך בו אנו ״מחליפים״ מטריצה או אופרטור במטריצה או אופרטור הפועלים על מרחב גדול יותר עם תכונות טובות יותר. השאלה היא מה זה עוזר לנו? בהרצאה אראה איך אפשר להוכיח משפט קלאסי בכלים של אלגברה לינארית 2 (ועוד קצת), אציג את משפט הדילציה של Sz. Nagy, ואסיק ממנו תוצאה מפתיעה שנקראת אי-שוויון פון נוימן. את שאר הזמן נקדיש לשימושים נוספים ושאלה שפתוחה כבר הרבה מאוד שנים.

ההרצאה מוקדשת לדיון במשוואות אלגבריות במשתנה אחד ובמיוחד באלו ממעלה שלישית, רביעית וחמישית. במיוחד נוכיח את משפט אבל–רופיני שמתייחס לאי האפשרות לפתור משוואות אלגבריות ממעלה חמישית ומעלה כאשר אנו מגבילים את עצמנו לשימוש באמצעים מסוימים (פעולות חשבון והוצאת שורשים).

המשפט של אבל–רופיני נלמד בקורס הניתן במחלקה למתמטיקה במסגרת תורת גלואה וההוכחה נלמדת אחרי בערך חצי מהקורס. ההוכחה שניתן כאן (מיוחסת ל-V. Arnold) היא אלמנטרית, ועושה שימוש ברעיונות פשוטים שאפשר להסביר בשעה אחת.