יהיו $P, Q$ שני פולינומים מרוכבים עם $deg P = deg Q$. האם נכון שהתנאי $P^{- 1}(\{-1,1\})=Q^{- 1}(\{- 1,1\})$ (התמונות ההפוכות של הנקודות 1-,1 שוות) גורר ש-$P = -Q$ או $P = Q$.
אסביר פתרון לבעיה זו שהושגה בשנת 1996 ואדון בנושאים מתמטיים קשורים, כולל בעיות לא פתורות.
לא פתירה ע‘’י פונקציות רציפות של שני משתנים בלבד.“
זמן רב הבעיה נחשבה כקשה במיוחד עד שבמפתיע בשנת 1957 ו. ארנולד (תלמיד תאר ראשון דאז) נתן תשובה שלילית לבעיה. יותר מאוחר באותה שנה
א. קולמוגורוב הוכיח את משפט הסופרפוזיציה המפורסם שלו שפתר את בעית הילברט בצורה מאוד חזקה:
”כל פונקציה ממשית רציפה ב-$n$ משתנים
ממשיים $f(x_1,x_2, \dots, x_n)$ ניתן להציג כהרכבה של פונקציות
ממשיות רציפות של משתנה ממשי אחד והפונקציה $x+y$.‘‘
בהרצאה נדון בנקודות מרכזיות של הוכחת משפט הסופרפוזיציה ותוצאות קשורות למשפט.
עדכון ההרצאה תנתן בפורמט היברידי: היא תתקיים פיזית בחדר 2 בבניין 34, ובמקביל תשודר ותוקלט בזום
השוויון $(a^2+b^2)(x^2+y^2)=z^2+w^2$ כאשר $z=ax-by$ ו-$w=ay+bx$ מעלה את השאלה אם זהוית כאלו הן אפשריות עבור יותר משתנים. נדון בשאלה זו ובקשרים שלה לאלגבראות עם חילוק, לשדות וקטורים על הספרות וגם לתורת ההצגות של חבורות סופיות.
Singularity Theory has originated (at the end of 19‘th century) with the two basic questions:
how does the graph of a function look locally?
how does the zero set of a function look locally?
If the first derivative of a function does not vanish at a point then one can change the local coordinates to linearize the functions. Geometrically one ”rectifies“ the graph/the zero set. Accordingly the local geometry/topology/algebra are trivialized. The situation becomes much more involved when the first derivative vanishes. I will consider several simple (though non-trivial) examples, showing how the algebra/geometry/topology are involved.