16–2015–א

• מושגי יסוד בטופולוגיה של מרחבים מטריים: קבוצות סגורות ופתוחות, קשירות, קומפקטיות, שלמות.
• מרחבים נורמיים ומרחבי מכפלה פנימית. כל הנורמות על $\mathbb{R}^n$ שקולות.
• משפט על קיום ויחידות של נקודת שבת להעתקת כווץ במרחב מטרי שלם.
• העתקות בין מרחבים אוקלידיים. נגזרת חלקית. גרדיאנט. כלל השרשרת. פיתוח טיילור בכמה משתנים.
• משפט ההעתקה הפתוחה ומשפט הפונקציות הסתומות. כופלי לגרנז‘. בעיות מינימום ומקסימום.
• אינטגרל רימן. קבוצות בעלות מידה אפס. תנאי האינטגרביליות של לבג. תכולה לפי ז‘ורדאן.
• משפט פוביני. היעקוביאן ונוסחת חילוף המשתנה.
• אינטרגלים מסילתיים. תבניות סגורות ומדויקות. משפט גרין.
• אם יתיר הזמן, אינטרגלים משטחיים ומשפטי סטוקס וגאוס.

משוואות דיפרנציאליות רגילות מסדר ראשון, משפטי קיום ויחידות, משוואות ליניאריות מסדר N, ורונסקיאן, שדות וקטוריים, משוואות אוטונומיות, מערכות משוואות ליניאריות מסדר ראשון, מערכות משוואות לא-ליניאריות ויציבות.משוואות דיפרנציאליות רגילות מסדר ראשון, משפטי קיום ויחידות, משוואות ליניאריות מסדר N, ורונסקיאן, שדות וקטוריים, משוואות אוטונומיות, מערכות משוואות ליניאריות מסדר ראשון, מערכות משוואות לא-ליניאריות ויציבות.

סיגמא-אלגבראות, משפט הרחבת המידה ומידת לבג על הישר, מרחבי מידה כלליים, פונקציות מדידות, תורת האינטגרציה, משפטי התכנסות (משפט אגורוב, התכנסות במידה, כמעט תמיד ובנורמות $L_p$), משפט לוזין, מרחבי $L_p$, מידות במרחבי מכפלה ומשפט פוביני, מידות מסומנות ומרוכבות ופירוק האן, משפט רדון ניקודים ושימושים, גזירה, נושאים נוספים ככל שיתיר הזמן.

• ממוצעי צ‘זרו: קונבוליציות, גרעיני סומביליות חיוביים ומשפט פייר.
• שימושים של משפט פייר: משפט הקירוב של ויירשטראס עבור פולינומים, משפט ההתפלגות במידה אחידה של וייל, בניה של פונקציה רציפה שאיננה גזירה בשום מקום (ככל שיתיר הזמן).
• התכנסות והתבדרות נקודתית ובמידה שווה של הסכומים החלקיים: גרעין דיריכלה ותכונותיו, בניה של פונקציה רציפה עם טור פורייה מתבדר, בוחן דיני.
• קירובים בנורמת המכפלה הפנימית. נוסחת פרסבל. התכנסות בהחלט של טורי פורייה של פונקציות גזירות ברציפות. ככל שיתיר הזמן, הבעיה האיזופרימטרית או שימושים שונים.
• שימושים למשוואות דיפרנציאליות חלקיות. משוואות החום והגלים במעגל ובקטע. גרעיו פואסון ומשוואת לפלס במעגל.
• טורי פורייה של פוקציונלים לינאריים על מרחב הפונקציות הגזירות ברציפות כמה פעמים. מושג הדיסטריבוציה על המעגל.
• אם יתיר הזמן, סדרות מוגדרות חיובית ומשפט הרגלוץ.
• טרנספורם פורייה על הישר: קונבולוציות, נוסחת ההיפוך, משפט פלנשרל, פונקציות הרמיט. אם יתיר הזמן, דיסטריבוציות על הישר, ושימושים למשוואות דיפרנציאליות חלקיות.
• אנליזת פורייה על חבורות ציקליות סופיות, ואלגוריתם טרנספורם פורייה מהיר.

מערכת אקסיומות לתחשיב הפרדיקטים. משפט השלמות ומשפט הקומפקטיות. מבוא לתורת המודלים: משפטי סקולם-לוונהים ותתי מבנים אלמנטריים. כריעות ואי-כריעות של תורות. משפט אי השלמות הראשון של גדל.

גרפים ותת גרפים, עצים, קשירות, מסלולי אוילר, מעגלים המילטוניים, זיווגים, צביעות של גרפים, גרפים מישוריים, מבוא לתורת רמזי, גרפים מכוונים, שיטות הסתברותיות ואלגבריות בתורת הגרפים.

• חבורה כסמטריה. דוגמאות: חבורות ציקליות, דיהדרלית, סמטריות. חבורות מטריצות.
• הומומורפיזם. תת חבורות ותת חבורות נורמליות. חבורות מנה. משפט לגרנז‘. משפטי האיזומורפיזם. מכפלה ישרה של חבורות.
• פעולה של חבורה על קבוצה. משפט קיילי.
• אוטומורפיזמים של חבורות.
• משפטי סילו ומיון חבורות מסדר נמוך.
• סדרת הרכב ומשפט ז‘ורדן-הולדר. חבורות פתירות.
• מיון חבורות חילופיות נוצרות סופית.
• חבורה סימטרית וסידרת הרכב שלה.
• חוגים. אידאלים ראשוניים ומקסימליים. תחום שלמות. חוג מנה. משפטי הומומורפיזם.
• אלגברה מולטילינארית: מרחבי מנה. מכפלה טנזורית של מרחבים וקטוריים. פעולה על חבורה סמטרית על חזקות טנזוריות. אלגברה סימטרית ואלגברה חיצונית. תבניות מולטילינאריות ודטרמיננטה.
• נושאי רשות: חבורות סימטריות של פאונים משוכללים. חבורות חופשיות. מכפלה חצי-ישרה. תורת ההצגות של חבורות סופיות.

מבוא למושגים הבסיסיים של תורת ההסתברות:

מרחבי הסתברות גבולות של מאורעות ורציפות של הסתברות הסתברות מותנה אי-תלות של מאורעות סיגמה-אלגבראות, מרחבים רציפים, ומידת לבג משתנים מקריים והתפלגויות אי-תלות התפלגויות משותפות והתפלגויות מותנות תוחלת שונות ושונות משותפת התכנסות של משתנים מקריים: כמעט-תמיד, Lp, בהסתברות חוק המספרים הגדולים התכנסות בהתפלגות משפט הגבול המרכזי