21–2020–א

• חבורה כסמטריה. דוגמאות: חבורות ציקליות, דיהדרלית, סמטריות. חבורות מטריצות.
• הומומורפיזם. תת חבורות ותת חבורות נורמליות. חבורות מנה. משפט לגרנז‘. משפטי האיזומורפיזם. מכפלה ישרה של חבורות.
• פעולה של חבורה על קבוצה. משפט קיילי.
• אוטומורפיזמים של חבורות.
• משפטי סילו ומיון חבורות מסדר נמוך.
• סדרת הרכב ומשפט ז‘ורדן-הולדר. חבורות פתירות.
• מיון חבורות חילופיות נוצרות סופית.
• חבורה סימטרית וסידרת הרכב שלה.
• חוגים. אידאלים ראשוניים ומקסימליים. תחום שלמות. חוג מנה. משפטי הומומורפיזם.
• אלגברה מולטילינארית: מרחבי מנה. מכפלה טנזורית של מרחבים וקטוריים. פעולה על חבורה סמטרית על חזקות טנזוריות. אלגברה סימטרית ואלגברה חיצונית. תבניות מולטילינאריות ודטרמיננטה.
• נושאי רשות: חבורות סימטריות של פאונים משוכללים. חבורות חופשיות. מכפלה חצי-ישרה. תורת ההצגות של חבורות סופיות.

סיגמא-אלגבראות, משפט הרחבת המידה ומידת לבג על הישר, מרחבי מידה כלליים, פונקציות מדידות, תורת האינטגרציה, משפטי התכנסות (משפט אגורוב, התכנסות במידה, כמעט תמיד ובנורמות $L_p$), משפט לוזין, מרחבי $L_p$, מידות במרחבי מכפלה ומשפט פוביני, מידות מסומנות ומרוכבות ופירוק האן, משפט רדון ניקודים ושימושים, גזירה, נושאים נוספים ככל שיתיר הזמן.

מערכת אקסיומות לתחשיב הפרדיקטים. משפט השלמות ומשפט הקומפקטיות. מבוא לתורת המודלים: משפטי סקולם-לוונהים ותתי מבנים אלמנטריים. כריעות ואי-כריעות של תורות. משפט אי השלמות הראשון של גדל.

גרפים ותת גרפים, עצים, קשירות, מסלולי אוילר, מעגלים המילטוניים, זיווגים, צביעות של גרפים, גרפים מישוריים, מבוא לתורת רמזי, גרפים מכוונים, שיטות הסתברותיות ואלגבריות בתורת הגרפים.

מבוא למושגים הבסיסיים של תורת ההסתברות:

מרחבי הסתברות גבולות של מאורעות ורציפות של הסתברות הסתברות מותנה אי-תלות של מאורעות סיגמה-אלגבראות, מרחבים רציפים, ומידת לבג משתנים מקריים והתפלגויות אי-תלות התפלגויות משותפות והתפלגויות מותנות תוחלת שונות ושונות משותפת התכנסות של משתנים מקריים: כמעט-תמיד, Lp, בהסתברות חוק המספרים הגדולים התכנסות בהתפלגות משפט הגבול המרכזי

הקורס מציג את התורה הבסיסית של המספרים הטבעיים, ויתמקד ברובו בתוצאות קלאסיות, כגון פירוק יחיד לראשוניים, משפט השאריות הסיני ומשפט ההדדיות הריבועית. בהמשך, יוצגו שיטות והקשרים מתחומים אחרים, כגון אלגברה, אנליזה וטופולוגיה, ויוצגו שימושים בתחום ההצפנות.

מרחבים מטריים ונורמיים. שקילות הנורמות במרחבים סוף מימדיים. קומפקטיות ומשפט היינה-בורל. התכנסות של סדרות וטורים של פונקציות נקודתית, במידה שווה ובנורמות אחרות. גזירה ואינטגרציה איבר-איבר של טורי פונקציות, שימושים לטורי חזקות. שלמות: שלמות של מרחב הפונקציות הרציפות בקטע סגור ובמרחב מטרי קומפקטי, בוחן $M$ של ויירשטראס. משפט הקטגוריה של בייר, פונקציונלים לינאריים חסומים ומשפט בנך-שטיינהאוס. קומפקטיות במרחבי פונקציות ומשפט ארצלה אסקולי. מבוא לטורי פורייה: סכימת צ‘זרו, קונבולוציות ומשפט פייר. משפט הקירוב של ויירשטראס. התכנסות ב-$L^2$. התכנסות נקודתית, גרעין דיריכלה וקריטריון דיני.

קבוצות פתוחות, סגורות, קומפקטיות במרחב האוקלידי. נורמות מטרציאליות ושקילות הנורמות. גבולות ורציפות בכמה משתנים. מסילות וקשירות מסילתית. נזגרות חלקיות וכווניות, הגרדיינט ומושג הדיפרנציאביליות. משפטי הפונקציה הסתומה, הפתוחה וההפוכה. כופלי לגרנז‘. אופטימיזציה, מטריצת ההסיאן ונקודות קריטיות. אינטגרל רימן הרב-מימדי: משפט פוביני, משפט שינוי המשתנה.

1. המרחב האפיני והמרחב הפרויקטיבי, העתקות אפיניות ופרויקטיביות, שיכוני סגרה וורונזי, משפט דזרג, משפט פאפוס, היחס הכפול, הדואליות הפרויקטיבית
2. עקומות מישוריות: עקומות רציונליות, מערכות לינאריות, שניוניות ומשפט הפרפר, משפט פסקל, משפט שאל, מבנה החבורה על קוביקה, משפט בזו
3. יריעות אלגבריות אפיניות: משפט הבסיס של הילברט, טופולוגיית זריסקי, רכיבי אי-פריקות, משפט האפסים של הילברט, ההתאמה בין אידיאלים רדיקאליים לקבוצות אלגבריות, מורפיזמים והעתקות רציונליות בין יריעות אלגבריות אפיניות
4. יריעות אלגבריות פרויקטיביות: חוג מדורג ואידאלים הומוגניים, ההתאמה הפרויקטיבית, מורפיזמים, ניפוחים, שקילות בירציונלית ויריעות רציונליות, יריעות גרסמן
5. יסודות תורת המימד
6. יסודות החלקות
7. משטחים קוביים ו- 27 ישרים. ככל שיאפשר הזמן, ידונו נושאים נוספים כגון יריעות אלגבריות מופשטות, ומשפט שבלה, או משפט רימן-רוך ושימושיו.

בשנות ה-80 העלה א. גרותנדיק תכנית לפיתוח ”טופולוגיה שקולה“ שלא תסבול מהשפע העצום של דוגמאות נגדיות ופתולוגיות המוכרות מהטופולוגיה הקלאסית. כיום רבים רואים בסדר-מזעריות את הגשמת תכניותו של גרותנדיק: בשדה סדר מזערי כל הפונקציות גזירות למקוטעין (ולכן גזירות אינסוף פעמים ”כמעט“ בכל נקודה), פונקציות במשתנה אחד הן מונווטוניות למקוטעין, קשירות שקולה לקשירות מסילתית ואקסיומת הבחירה מתקיימת עבור הקבוצות ה“גדירות“. בהקשר הסדר מזערי ניתן לפתח את כל החשבון הדיפרנציאלי הקלאסי, פרקים נרחבים מהתורה של חבורות לי, פרקים בטופולוגיה אלגברית ועוד, ועוד. סדר-מזעריות משמשת מזה זמן כלי מרכזי בגיאומטריה ממשית, בגיאומטריה דיופנטית ובתחומים נוספים.

בקורס נגדיר את המושג של תורות סדר-מזעריות ונפתח את התורה הבסיסית שלהן. נראה כי התורה של שדות סגורים ממשית היא תורה סדר-מזערית ונדון, ככל שיותיר הזמן, בשימושים.

קורס זה נועד להדגים שימושים ולהוות השלמה לשיעורי ”אינפיטיסמלי גיאומטרי 1“ 201.1.1031 (וכן לקורס ”מבוא לאנליזה“ 201.1.1051). הקורס נלמד במקביל לקורס חשבון אינפי גיאומטרי 1 ותכניו עוקבים אחרי הסילבוס שלו. לצד תרגול הידע של אינפי, יושם דגש על שיפור יכולות הדיון המתמטי של הסטודנטים. במסגרת הסדנה, הסטודנטים יעבדו בקבוצות קטנות ויתרגלו שיתוף פעולה ואת יכולות הדיון המתמטי שלהם: איך חושבים ביחד, איך מזקקים את העיקר מהטפל ואיך מציגים רעיון מתמטי לאחרים.

• יריעות טופולוגיות. חבורה יסודית ומרחבי כיסוי. שימושים.
• הומולוגיה סינגולרית ושימושים.
• יריעות גזירות. תבניות דיפרנציאליות ומשפט Stokes. הגדרת קוהומולגית de Rham
• נושאים נוספים אם ישאר זמן

1. השלמות שונות באנליזה פונציונאלית ואלגבראות בנך, תורת גלפנד.
2. התורה הבסיסית של אלגבראות $C^*$: אלגבראות $C^*$ קומטטיביות, חיוביות, אידיאלים ומנות, מצבים והצגות, בניית גלפנד-נאימרק-סגל, אלגברה האופרטואים הקומפקטיים.
3. סקירה של דוגמאות יסוד בתחום, כגון, אלגבראות סוף מימדיות בקירוב, אלגברת טופליץ, אלגבראות קונץ, אלגבראות סיבוב אי-רציונאלי (ככול שיתיר הזמן). מבוא לתורת-K.

נושאים נוספים ככל שיתיר הזמן.

1. משטחי רימן
2. פונקציות הולומורפיות של מספר משתנים.
3. נקודות קריטיות מבודדות של פונקציות הולומורפיות.
4. מבוא לטופולוגיה דיפרנציאלית.
5. טופולוגיה של נקודות סינגולריות.

1. אלומות (sheaves) על מרחבים טופולוגיים.
2. סכמות אפיניות (affine schemes).
3. סכמות ומורפיזמים ביניהן.
4. אלומות קוואזי-קוהרנטיות.
5. מורפיזמים מופרדים (separated) ומורפיזמים נאותים (proper).
6. אגדים וקטוריים (vector bundles) וחבורת פיקאר (Picard) של סכמה.
7. פונקטור הנקודות (functor of points) ומרחבי מודולים (moduli spaces).
8. מורפיזמים למרחב הפרוייקטיבי ופיצוצים (blow-ups).
9. מורפיזמים חלקים (smooth morphisms) ותבניות דיפרנציאליות (differential forms).
10. קוהומולוגיה של אלומות (sheaf cohomology).
11. סכמות חבורה (group schemes).

מרחבי בנך ומרחבי הילברט. תכונות בסיסיות של מרחבי הילברט. מרחבים וקטורים טופולוגיים. משפט בנך-שטיינהאוס (עקרון החסימות במידה שווה), משפט ההעתקה הפתוחה ומשפט הגרף הסגור. משפט האן-בנך. דואליות. מידות על מרחבים קומפקטיים מקומית, המרחב הדואלי של $C(X)$. טופולוגיות חלשות וחלשות-$*$, משפט בנך-אלאוגלו. קמירות ומשפט קריין-מילמן. משפט סטון-ויירשטראס. אופרטורים קומפקטיים על מרחב הילברט. מבוא לאלגבראות בנך ולתורת גלפנד. נושאים נוספים ככל שיתיר הזמן.