25–2024–ב

משוואות דיפרנציאליות רגילות מסדר ראשון, משפטי קיום ויחידות, משוואות ליניאריות מסדר N, ורונסקיאן, שדות וקטוריים, משוואות אוטונומיות, מערכות משוואות ליניאריות מסדר ראשון, מערכות משוואות לא-ליניאריות ויציבות.משוואות דיפרנציאליות רגילות מסדר ראשון, משפטי קיום ויחידות, משוואות ליניאריות מסדר N, ורונסקיאן, שדות וקטוריים, משוואות אוטונומיות, מערכות משוואות ליניאריות מסדר ראשון, מערכות משוואות לא-ליניאריות ויציבות.

מרחבים טופולוגיים ופונקציות רציפות (מרחבי מכפלה, מרחבי מנה ומרחבים מטריים). קשירות וקומפקטיות. תנאי מניה והפרדה (הלמה של אוריסון, משפט המטריזציה של אוריסון, חלוקת קטע היחידה). משפט טיכונוף וקומפקטיפיקציית סטון-צ‘ך. משפטי מטריזציה ופרה-קומפקטיות.

• מספרים מרוכבים. פונצקיות אנליטיות, משוואות קושי-רימן.
• העתקות קונפורמיות, טרנספורמציות מוביוס.
• אינטגרציה. משפט קושי. נוסחת קושי. אפסים, קטבים, פיתוח טיילור, פיתוח לורן. חשבון השאריות.
• משפט ויירשטרס ומשפט מיטג-לפלר. פונקציות שלמות. משפחות נורמליות.
• משפט ההעתקה של רימן. פונקציות הרמוניות, בעיית דיריכלה.

• שדות: עובדות בסיסיות ודוגמאות, אפיון (קרקטריסטיקה), שדות ראשוניים
• פולינומים: פריקות, מבחן איזנשטיין, למת גאוס
• הרחבות של שדות: תכונת המגדל, הרחבות אלגבריות וטרנסצנדנטיות, צרוף אבר לשדה
• בניות בסרגל ומחוגה
• סגורים אלגבריים: קיום ויחידות
• שדות פיצול
• הרחבות גלואה: אוטומורפיזמים, נורמליות, ספרביליות, שדות שבת, חבורות גלואה, המשפט היסודי של תורת גלואה
• הרחבות ציקליות
• פתרון משואות פולינומיאליות על-ידי רדיקלים: חבורת גלואה של פולינום, הדיסקרמיננטה, נוסחאת קרנדו-טרטגליאה, חבורות פתירות, משפט גלואה אודות פתירות על-ידי רדיקלים
• שרשי יחידה: הרחבות ציקלוטומיות, הפולינומים הציקלוטומיים ואי-פריקותם
• שדות סופיים: קיום ויחידות, חבורות גלואה מעל שדות סופיים, אברים פרמיטיביים

יריעות דיפרנציאביליות משוכנות במרחב האוקלידי עם שפה. המרחב המשיק, הנורמל, שדות וקטורים. יריעות אוריינטביליות, אוריינטציית הנורמל החיצוני. פירוקי יחידה חלקים. תבניות דיפרנציאליות על יריעות משוכנות. הנגזרת החיצונית. אינטגרציה של תבניות דיפרנציאליות ומשפט סטוקס המוכלל. ניסוחים קלאסיים של מקרים פרטיים (גרדיינט, רוטור ודיברגנץ ומשפטי גרין, סטוקס וגאוס). תבניות סגורות ומדויקות. שדות וקטוריים משמרים וקיום הפוטנציאל. שימושים למשוואות דיפרנציאליות מדויקות. מבוא לגיאומטריה דיפרנציאלית: עקמומיות של עקומים ומשטחים במרחב התלת מימדי, העתקת גאוס משפט גאוס-בונה (אם יתיר הזמן).

משוואות דיפרנציאליות רגילות מסדר ראשון, משפטי קיום ויחידות, משוואות ליניאריות מסדר $N$, ורונסקיאן, שדות וקטוריים, משוואות אוטונומיות, מערכות משוואות ליניאריות מסדר ראשון, מערכות משוואות לא-ליניאריות ויציבות.

1. נושאי הכנה: ייצוג מספרים במחשב, שגיאות עיגול ויציבות. נורמות מטריצליאליות ומספר המצב של מטריצה.
2. מבוא לפתרון נומרי של משוואות דיפרנציאליות רגילות: בעיות תנאי התחלה, שיטת אוילר, מבוא לשיטות multistep, בעיות תנאי שפה.
3. שיטות נומריות לפתרון משוואות לינאריות: אלימינציית גאוס עם החלפות ציר, פירוק LU. שיטות איטרטיביות: יעקובי, גאוס-סיידל, שיטת הגרדיינט הצמוד. קירובי ריבועים פחותים.
4. שיטות נומריות למציאת ערכים עצמיים: מעגלי גרשגורין. שיטת החזקה. שיקולי יציבות בתהליך גרם-שמידט: שיקופי האוסהולדר וסיבובי גיבנס. צורת הסנברג וצורה תלת-אלכסונית. פירוק QR ואלגוריתם QR.

מטרת הקורס להקנות לסטודנטים יכולות התמודדות עם בעיות מתמטיות במגוון נושאים על ידי הכרות עם אסטרטגיות נפוצות לפתרון בעיות מתמטיות. הקורס דורש השתתפות פעילה של הסטודנטים במהלך השיעור וכולל עבודה קבוצתית ופרטנית כאחד. המפגשים יתנהלו כסמינר שבו בתחילה תוצג בעיה קלאסית ופתרונה. תידון האסטרטגיה לפתרון בעיות שעולה מהפתרון ואחר כך יאותגרו המשתתפים להפעיל אסטרטגיה זו בדוגמאות ספציפיות. בנוסף יידונו בעיות/חידות שניתנו כעבודת בית שבועית.

חלק מהחידות והבעיות הקלאסיות הן למעשה נקודות פתיחה לתחומים מתמטיים. נכסה מגוון של טכניקות לפתרון בעיות: ניצול זוגיות (ושיטת השמורות), הליכה מהסוף להתחלה, שובך יונים, בדיקת מקרים קיצונים, מירחוב של בעיות מישוריות, מנייה כפולה, עיקרון השיקוף בקומבינטוריקה ובגיאומטריה, שימוש בטרנספורמציות שונות בהתמודדות עם בעיות גיאומטריות מתוחכמות, שיטות של תכנון דינמי, עקרון האינדוקציה ושיטת הירידות של פרמה לטיפול במשוואות דיופנטיות. שיטת הפונקציות היוצרות. פונקציות אריתמטיות מתורת המספרים. שיקולים הסתברותיים ושימושיהם.

למידה עמוקה, או בשמה העממי: אינטליגנציה מלאכותית, זוכה להצלחה מסחררת בשנים האחרונות. בבסיסה שלה השיטה נמצאים כלים מתמטיים בתחומי האלגברה הלינארית, האופטימיזציה, וההסתברות והסטטיסטיקה מטרת הקורס היא להכין את התלמידים לקורסים מתקדמים בתחום הלמידה העמוקה תוך הכרת הכלים המתמטיים שבבסיס התורה. בנוסף יכלול הקורס מבוא ללמידה עמוקה תוך שימוש בכלים אילו בדוגמאות פשוטות. הקורס ירבה בהדגמות ממוחשבות במערכת Sage מבוססת פייתון, וישמש גם הכנה לשימוש בפייתון בקורסים מתקדמים בלמידה עמוקה. הקורס יתמקד באלגברה לינארית ואופטימיזציה ולכן מומלץ ללמוד קורס בהתסברות ו/או סטטיסטיקה בנוסף. ספר הקורס יהיה הספר: Strang - Linear algebra and learning from data דרישת הקדם לקורס היא שני קורסי האלגברה הלינארית וקורס החדו“א הראשון במתמטיקה, מדעי המחשב או הנדסת חשמל. תלמידי מחלקות אחרות המעונינים ללמוד את הקורס יתקבלו על בסיס פרטני.

בשנות ה-80 העלה א. גרותנדיק תכנית לפיתוח ”טופולוגיה שקולה“ שלא תסבול מהשפע העצום של דוגמאות נגדיות ופתולוגיות המוכרות מהטופולוגיה הקלאסית. כיום רבים רואים בסדר-מזעריות את הגשמת תכניותו של גרותנדיק: בשדה סדר מזערי כל הפונקציות גזירות למקוטעין (ולכן גזירות אינסוף פעמים ”כמעט“ בכל נקודה), פונקציות במשתנה אחד הן מונווטוניות למקוטעין, קשירות שקולה לקשירות מסילתית ואקסיומת הבחירה מתקיימת עבור הקבוצות ה“גדירות“. בהקשר הסדר מזערי ניתן לפתח את כל החשבון הדיפרנציאלי הקלאסי, פרקים נרחבים מהתורה של חבורות לי, פרקים בטופולוגיה אלגברית ועוד, ועוד. סדר-מזעריות משמשת מזה זמן כלי מרכזי בגיאומטריה ממשית, בגיאומטריה דיופנטית ובתחומים נוספים.
בקורס נגדיר את המושג של תורות סדר-מזעריות ונפתח את התורה הבסיסית שלהן. נראה כי התורה של שדות סגורים ממשית היא תורה סדר-מזערית ונדון, ככל שיותיר הזמן, בשימושים.

• תזכורת רלוונטית מגיאומטריה אלגברית
• הגדרה, דוגמאות ותכונות בסיסיות של חבורות אלגבריות
• גזירות, דיפרנציאלים ואלגבראות לי
• תתי-חבורות פרבוליות, תתי-חבורות בורל וחבורות פתירות
• חבורת וויל ושורשים
• מבנה חבורות רדוקטיביות
• נושאים מתקדמים

דינמיקה סימבולית הוא תחום מתמטי העוסק בסדרות של ספרות/ אותיות /ביטים שהם למעשה סימנים מופשטים, המכונים ”סימבולים‘“, מנקודת המבט של מערכות דינמיות. עיקרון מנחה בסיסי הוא שבמקרים רבים ניתן לקודד ולהבין מערכות רציפות מסובכות על ידי סידרת מדידות בדידות. דוגמא בסיסית ומוכרת היא קידוד מספר ממשי כרצף אינסופי של ספרות עשרוניות. דוגמא אחרת היא קידוד מסלול של כדור ביליארד בשולחן ביליארד מצולע על ידי סידרת הדפנות בהן פוגע הכדור. במשך השנים נמצאו שימושים משמעותיים לדינמיקה סימבולית בתחומים מגוונים כגון שידור עבוד ואחסון של מידע, וכן בענפים שונים של מתמטיקה. בקורס נציג את מושגים ותוצאות שעומדות בבסיס התחום, בליווי דוגמאות מעניינות וקישורים לתחומים אחרים במתמטיקה.

תהליכי סיעוף הינם משפחה של תהליכים אקראיים, המאופיינים על ידי קשר חזק בין מצב המערכת וסיכויי המעבר בין המצבים.

המודל המקורי, מודל גאלטון- וואטסון, פותח בחצי השני של המאה ה-19 במטרה לנתח את הדינאמיקה של בתי האצולה באנגליה הווקטוריאנית, אך במהרה נמצאו לתורה שימושים בתחומי הנדסה ומדעים רבים כגון ביולוגיה חישובית, פיסיקה גרעינית, אפידמיולוגיה וכלכלה. בקורס נכיר את מושגי היסוד בתהליכי סיעוף, בשלב הראשון תוך דגש על פורמליזם מתמטי ובהמשך תוך כדי ביקור בשני שימושים מדעיים: אפידמיולוגיה (ומשבר הקורונה בפרט) ופיסיקה גרעינית .