26–2025–ב

משוואות דיפרנציאליות רגילות מסדר ראשון, משפטי קיום ויחידות, משוואות ליניאריות מסדר N, ורונסקיאן, שדות וקטוריים, משוואות אוטונומיות, מערכות משוואות ליניאריות מסדר ראשון, מערכות משוואות לא-ליניאריות ויציבות.משוואות דיפרנציאליות רגילות מסדר ראשון, משפטי קיום ויחידות, משוואות ליניאריות מסדר N, ורונסקיאן, שדות וקטוריים, משוואות אוטונומיות, מערכות משוואות ליניאריות מסדר ראשון, מערכות משוואות לא-ליניאריות ויציבות.

גרפים ותת גרפים, עצים, קשירות, מסלולי אוילר, מעגלים המילטוניים, זיווגים, צביעות של גרפים, גרפים מישוריים, מבוא לתורת רמזי, גרפים מכוונים, שיטות הסתברותיות ואלגבריות בתורת הגרפים.

הקורס יעסוק במושגים בסיסיים בטופולוגיה קבוצתית. הנושאים יכללו:

• הגדרות בסיסיות: מרחבים טופולגיים, פונקציות רציפות ותכונות שלהן, דוגמאות
• תכונות מנייה והפרדה
• קשירות, קומפקטיות, קומפקטיפיקציה
• בניות: מרחבי מכפלה, מרחבי מנה, מרחבי פונקציות
• קטגוריות: הגדרות, דוגמאות, בניות ותכונות בהקשר הטופולוגי
• נושאים נוספים בהתאם לזמן ולטעם: מרחבים מטריים ומטרזביליים, מימד טופולוגי, הומוטופיה והחבורה היסודית, משפט סטון–וואיירשטראס

• מספרים מרוכבים. פונצקיות אנליטיות, משוואות קושי-רימן.
• העתקות קונפורמיות, טרנספורמציות מוביוס.
• אינטגרציה. משפט קושי. נוסחת קושי. אפסים, קטבים, פיתוח טיילור, פיתוח לורן. חשבון השאריות.
• משפט ויירשטרס ומשפט מיטג-לפלר. פונקציות שלמות. משפחות נורמליות.
• משפט ההעתקה של רימן. פונקציות הרמוניות, בעיית דיריכלה.

ראה סילבוס באנגלית

• שדות: עובדות בסיסיות ודוגמאות, אפיון (קרקטריסטיקה), שדות ראשוניים
• פולינומים: פריקות, מבחן איזנשטיין, למת גאוס
• הרחבות של שדות: תכונת המגדל, הרחבות אלגבריות וטרנסצנדנטיות, צרוף אבר לשדה
• בניות בסרגל ומחוגה
• סגורים אלגבריים: קיום ויחידות
• שדות פיצול
• הרחבות גלואה: אוטומורפיזמים, נורמליות, ספרביליות, שדות שבת, חבורות גלואה, המשפט היסודי של תורת גלואה
• הרחבות ציקליות
• פתרון משואות פולינומיאליות על-ידי רדיקלים: חבורת גלואה של פולינום, הדיסקרמיננטה, נוסחאת קרנדו-טרטגליאה, חבורות פתירות, משפט גלואה אודות פתירות על-ידי רדיקלים
• שרשי יחידה: הרחבות ציקלוטומיות, הפולינומים הציקלוטומיים ואי-פריקותם
• שדות סופיים: קיום ויחידות, חבורות גלואה מעל שדות סופיים, אברים פרמיטיביים

יריעות דיפרנציאביליות משוכנות במרחב האוקלידי עם שפה. המרחב המשיק, הנורמל, שדות וקטורים. יריעות אוריינטביליות, אוריינטציית הנורמל החיצוני. פירוקי יחידה חלקים. תבניות דיפרנציאליות על יריעות משוכנות. הנגזרת החיצונית. אינטגרציה של תבניות דיפרנציאליות ומשפט סטוקס המוכלל. ניסוחים קלאסיים של מקרים פרטיים (גרדיינט, רוטור ודיברגנץ ומשפטי גרין, סטוקס וגאוס). תבניות סגורות ומדויקות. שדות וקטוריים משמרים וקיום הפוטנציאל. שימושים למשוואות דיפרנציאליות מדויקות. מבוא לגיאומטריה דיפרנציאלית: עקמומיות של עקומים ומשטחים במרחב התלת מימדי, העתקת גאוס משפט גאוס-בונה (אם יתיר הזמן).

משוואות דיפרנציאליות רגילות מסדר ראשון, משפטי קיום ויחידות, משוואות ליניאריות מסדר $N$, ורונסקיאן, שדות וקטוריים, משוואות אוטונומיות, מערכות משוואות ליניאריות מסדר ראשון, מערכות משוואות לא-ליניאריות ויציבות.

מטרת הקורס להקנות לסטודנטים יכולות התמודדות עם בעיות מתמטיות במגוון נושאים על ידי הכרות עם אסטרטגיות נפוצות לפתרון בעיות מתמטיות. הקורס דורש השתתפות פעילה של הסטודנטים במהלך השיעור וכולל עבודה קבוצתית ופרטנית כאחד. המפגשים יתנהלו כסמינר שבו בתחילה תוצג בעיה קלאסית ופתרונה. תידון האסטרטגיה לפתרון בעיות שעולה מהפתרון ואחר כך יאותגרו המשתתפים להפעיל אסטרטגיה זו בדוגמאות ספציפיות. בנוסף יידונו בעיות/חידות שניתנו כעבודת בית שבועית.

חלק מהחידות והבעיות הקלאסיות הן למעשה נקודות פתיחה לתחומים מתמטיים. נכסה מגוון של טכניקות לפתרון בעיות: ניצול זוגיות (ושיטת השמורות), הליכה מהסוף להתחלה, שובך יונים, בדיקת מקרים קיצונים, מירחוב של בעיות מישוריות, מנייה כפולה, עיקרון השיקוף בקומבינטוריקה ובגיאומטריה, שימוש בטרנספורמציות שונות בהתמודדות עם בעיות גיאומטריות מתוחכמות, שיטות של תכנון דינמי, עקרון האינדוקציה ושיטת הירידות של פרמה לטיפול במשוואות דיופנטיות. שיטת הפונקציות היוצרות. פונקציות אריתמטיות מתורת המספרים. שיקולים הסתברותיים ושימושיהם.

למידה עמוקה, או בשמה העממי: אינטליגנציה מלאכותית, זוכה להצלחה מסחררת בשנים האחרונות. בבסיסה שלה השיטה נמצאים כלים מתמטיים בתחומי האלגברה הלינארית, האופטימיזציה, וההסתברות והסטטיסטיקה מטרת הקורס היא להכין את התלמידים לקורסים מתקדמים בתחום הלמידה העמוקה תוך הכרת הכלים המתמטיים שבבסיס התורה. בנוסף יכלול הקורס מבוא ללמידה עמוקה תוך שימוש בכלים אילו בדוגמאות פשוטות. הקורס ירבה בהדגמות ממוחשבות במערכת Sage מבוססת פייתון, וישמש גם הכנה לשימוש בפייתון בקורסים מתקדמים בלמידה עמוקה. הקורס יתמקד באלגברה לינארית ואופטימיזציה ולכן מומלץ ללמוד קורס בהתסברות ו/או סטטיסטיקה בנוסף. ספר הקורס יהיה הספר: Strang - Linear algebra and learning from data דרישת הקדם לקורס היא שני קורסי האלגברה הלינארית וקורס החדו“א הראשון במתמטיקה, מדעי המחשב או הנדסת חשמל. תלמידי מחלקות אחרות המעונינים ללמוד את הקורס יתקבלו על בסיס פרטני.

תורת הקשיחות של גרפים עוסקת ביציבות המבנית של שיכונים של גרף $G$ ב-$\mathbb{RR^d}$. ניתן לחשוב על שיכון כזה כעל מבנה מכני הבנוי ממוטות קשיחים (הקשתות) המחוברים ביניהם באמצעות מפרקים או צירים (הקודקודים), סביבם הם יכולים להסתובב בחופשיות. השאלה הבסיסית בתורת הקשיחות היא: האם מבנה נתון הוא קשיח או גמיש? כלומר, האם ניתן להזיז את הקודקודים באופן רציף תוך שמירה על כל אורכי הקשתות, ולקבל מבנה שונה מזה שהתחלנו ממנו? (למשל, משולש הוא קשיח, אבל ריבוע ניתן יהיה לשנות באופן רציף למקבילית בעל אותם אורכי קשתות) תורת הקשיחות נמצאת בצומת שבין קומבינטוריקה, גאומטריה ואלגברה, ושורשיה מגיעים לעבודותיהם החלוציות של מקסוול וקושי במאה ה-19. לתיאוריה זו יש יישומים רבים ומגוונים, בין היתר בביולוגיה (מבנה החלבונים), בתורת הבקרה (שליטה על מערכי כלי רכב אוטונומיים), ובהנדסת מבנים. במהלך הקורס נחקור בעיות ותוצאות קלאסיות בתחום, לצד התפתחויות ושיטות חדשות יותר, ונקבל היכרות עם המושגים המרכזיים, השיטות, והשאלות הפתוחות בתחום.

מטרת הקורס היא להציג את נושא הקמירות. קמירות זו תכונה חשובה, שמוצאת שימושים בתחומים רבים במתמטיקה ומחוצה לה. נתחיל בקמירות במרחבים סוף מימדיים. נדבר על תכונות ומשפטים בסיסיים, כמו הפרדה, דואליות, ונקודות קיצון. לאחר, שנקבל קצת כלים, נדבר על אופטימיזציה קמורה. בפרט, נדבר על תחמומים המתוארים על ידי אי-שוויונים מטריציאליים. בחלק האחרון של הקורס נעבור לדיון במימדים אינסופיים. בפרט, נוכיח את משפט שוקה ונראה שימושים. נוכיח את משפט ההפרדה של אדוורד ונראה כמה מסקנות. נדבר על סימפלקסים אינסוף-מימדיים ונראה שימוש לדינמיקה.

הקורס מיועד להכיר לסטודנטים את תחום המתמטיקה השימושית. הוא עוסק בבניית מודלים מתמטיים, ניתוחם ופרשנותם, המבהירים בעיות משמעותיות במדעי הטבע והנדסה. הקורס מיועד לספק חומר מעניין לסטודנטים במתמטיקה, פיזיקה, כימיה והנדסה ברמת תואר ראשון מתקדם ורמת תואר שני- שלישי. מהות המתמטיקה השימושית. מערכות דטרמיניסטיות ומשוואות דיפרנציאליות רגילות. תורת ההפרעות של פואנקרה. תהליכים אקראיים ומשוואות דיפרנציאליות חלקיות. מעבר חום ואנליזת פורייה. אנליזת פורייה מתקדמת וטרנספורמציית פורייה. הליכים בסיסיים במתמטיקה שימושית המודגמים על-ידי משוואות דיפרנציאליות רגילות. היכרות עם תיאוריות של שדות רציפים: תנועת מוט, חומרים רציפים, משוואות שדה של מכניקת הרצף, זרימה לא צמיגה, יסודות תורת הפוטנציאלים.

הקורס הינו המשך של הקורס: גיאומטריה אלגברית מודרנית 1. הקורס יעסוק ביריעות אלגבריות מעל שדה סגור אלגברית, תוך שימוש בטכניקה של אלומות. סכמות אלגבריות יוזכרו בקצרה. הקורס יכסה את רוב החומר הסטנדרטי, עם מבט לנושאים מתקדמים יותר. תוכן הקורס יותאם לרקע וליכולת של הסטודנטים הרשומים. רשימת הנושאים למטה היא עבור שני חלקי הקורס.

רשימת נושאים:

1. קטגוריות ופונקטורים (לימוד משולב בנושאים האחרים).
2. מרחבים עם אלומות של חוגי פונקציות, כולל דוגמאות לא אלגבריות.
3. חזרה על אלגברה קומוטטיבית.
4. יריעות אלגבריות אפיניות.
5. יריעות אלגבריות פרויקטיביות.
6. תכונת המופרדות ויריעות אלגבריות.
7. סקירה של סכמות אלגבריות.
8. אלומות של מודולים.
9. אגדים וקטוריים.
10. אגדים קוויים וחבורת פיקאר.
11. סוגים של העתקות בין יריעות.
12. גיאומטריה אינומרטיבית ומשפט בזו.
13. קוהומולוגיה של אלומות.
14. חבורות אלגבריות.