18–2017–א

מטרת הסדנה ללוות את תלמידי מתמטיקה בשנה א ולשפר את המיומנויות שלהם בכל הנוגע לכתיבת הוכחות פורמאליות. במסגרת הסדנה, התלמידים יעבדו בקבוצות קטנות על כתיבת הוכחות, עם דגש על נושאים שמתקשרים לקורסי היסוד של שנה א.

מבנים אלגבריים
Pdf 201.1.7031 4.0 נק"ז

פרופ' דמיטרי קרנר

יום א 18:00 - 16:00 בקרייטמן-זלוטובסקי(חדש) [34] חדר 116
יום ד 14:00 - 12:00 בבנין 90 (מקיף ז‘) [90] חדר 237

  • חבורה כסמטריה. דוגמאות: חבורות ציקליות, דיהדרלית, סמטריות. חבורות מטריצות.
  • הומומורפיזם. תת חבורות ותת חבורות נורמליות. חבורות מנה. משפט לגרנז‘. משפטי האיזומורפיזם. מכפלה ישרה של חבורות.
  • פעולה של חבורה על קבוצה. משפט קיילי.
  • אוטומורפיזמים של חבורות.
  • משפטי סילו ומיון חבורות מסדר נמוך.
  • סדרת הרכב ומשפט ז‘ורדן-הולדר. חבורות פתירות.
  • מיון חבורות חילופיות נוצרות סופית.
  • חבורה סימטרית וסידרת הרכב שלה.
  • חוגים. אידאלים ראשוניים ומקסימליים. תחום שלמות. חוג מנה. משפטי הומומורפיזם.
  • אלגברה מולטילינארית: מרחבי מנה. מכפלה טנזורית של מרחבים וקטוריים. פעולה על חבורה סמטרית על חזקות טנזוריות. אלגברה סימטרית ואלגברה חיצונית. תבניות מולטילינאריות ודטרמיננטה.
  • נושאי רשות: חבורות סימטריות של פאונים משוכללים. חבורות חופשיות. מכפלה חצי-ישרה. תורת ההצגות של חבורות סופיות.

יסודות תורת המידה(*)
Pdf 201.1.0081 4.0 נק"ז

פרופ' אילן הירשברג

יום ב 16:00 - 14:00 בגולדברגר [28] חדר 304
יום ד 16:00 - 14:00 בבנין 90 (מקיף ז‘) [90] חדר 144

סיגמא-אלגבראות, משפט הרחבת המידה ומידת לבג על הישר, מרחבי מידה כלליים, פונקציות מדידות, תורת האינטגרציה, משפטי התכנסות (משפט אגורוב, התכנסות במידה, כמעט תמיד ובנורמות $L_p$), משפט לוזין, מרחבי $L_p$, מידות במרחבי מכפלה ומשפט פוביני, מידות מסומנות ומרוכבות ופירוק האן, משפט רדון ניקודים ושימושים, גזירה, נושאים נוספים ככל שיתיר הזמן.

חשבון אינפיניטסימלי 3(!)
Pdf 201.1.0031 6.0 נק"ז

ד"ר אינה אנטובה-איזנבוד

יום א 16:00 - 14:00 בצוקר, גולדשטיין-גורן [72] חדר 213
יום ג 13:00 - 12:00 בקרייטמן-זלוטובסקי(חדש) [34] חדר 303
יום ה 16:00 - 14:00 בגוטמן [32] חדר 111

  • מושגי יסוד בטופולוגיה של מרחבים מטריים: קבוצות סגורות ופתוחות, קשירות, קומפקטיות, שלמות.
  • מרחבים נורמיים ומרחבי מכפלה פנימית. כל הנורמות על $\mathbb{R}^n$ שקולות.
  • משפט על קיום ויחידות של נקודת שבת להעתקת כווץ במרחב מטרי שלם.
  • העתקות בין מרחבים אוקלידיים. נגזרת חלקית. גרדיאנט. כלל השרשרת. פיתוח טיילור בכמה משתנים.
  • משפט ההעתקה הפתוחה ומשפט הפונקציות הסתומות. כופלי לגרנז‘. בעיות מינימום ומקסימום.
  • אינטגרל רימן. קבוצות בעלות מידה אפס. תנאי האינטגרביליות של לבג. תכולה לפי ז‘ורדאן.
  • משפט פוביני. היעקוביאן ונוסחת חילוף המשתנה.
  • אינטרגלים מסילתיים. תבניות סגורות ומדויקות. משפט גרין.
  • אם יתיר הזמן, אינטרגלים משטחיים ומשפטי סטוקס וגאוס.

לוגיקה
Pdf 201.1.6061 4.0 נק"ז

ד"ר משה קמנסקי

יום ב 12:00 – 10:00 בגוטמן [32] חדר 309 יום ד 12:00 – 10:00 בגולדברגר [28] חדר 103

מערכת אקסיומות לתחשיב הפרדיקטים. משפט השלמות ומשפט הקומפקטיות. מבוא לתורת המודלים: משפטי סקולם-לוונהים ותתי מבנים אלמנטריים. כריעות ואי-כריעות של תורות. משפט אי השלמות הראשון של גדל.

משוואות דיפרנציאליות רגילות(!)
Pdf 201.1.0061 5.0 נק"ז

פרופ' ויקטור ויניקוב

יום ג 12:00 - 10:00 בבנין 90 (מקיף ז‘) [90] חדר 234
יום ה 10:00 - 08:00 בגוטמן [32] חדר 309

משוואות דיפרנציאליות רגילות מסדר ראשון, משפטי קיום ויחידות, משוואות ליניאריות מסדר N, ורונסקיאן, שדות וקטוריים, משוואות אוטונומיות, מערכות משוואות ליניאריות מסדר ראשון, מערכות משוואות לא-ליניאריות ויציבות.משוואות דיפרנציאליות רגילות מסדר ראשון, משפטי קיום ויחידות, משוואות ליניאריות מסדר N, ורונסקיאן, שדות וקטוריים, משוואות אוטונומיות, מערכות משוואות ליניאריות מסדר ראשון, מערכות משוואות לא-ליניאריות ויציבות.

הסתברות
Pdf 201.1.8001 4.0 נק"ז

פרופ' אריאל ידין

יום א 11:00 - 09:00 בצוקר, גולדשטיין-גורן [72] חדר 488
יום ג 18:00 - 16:00 בצוקר, גולדשטיין-גורן [72] חדר 489

מבוא למושגים הבסיסיים של תורת ההסתברות:

מרחבי הסתברות גבולות של מאורעות ורציפות של הסתברות הסתברות מותנה אי-תלות של מאורעות סיגמה-אלגבראות, מרחבים רציפים, ומידת לבג משתנים מקריים והתפלגויות אי-תלות התפלגויות משותפות והתפלגויות מותנות תוחלת שונות ושונות משותפת התכנסות של משתנים מקריים: כמעט-תמיד, Lp, בהסתברות חוק המספרים הגדולים התכנסות בהתפלגות משפט הגבול המרכזי

תורת המספרים
Pdf 201.1.6031 4.0 נק"ז

ד"ר ישי דן-כהן

יום ב 16:00 - 12:00 בבנין 90 (מקיף ז‘) [90] חדר 223
יום ה 12:00 - 10:00 בגוטמן [32] חדר 207

  • חלוקה ופריקות יחידה ב-$\mathbb{Z}$.
  • מספרים ראשוניים.
  • קונגרואציה.
  • שאריות רבועיות.
  • שרשים פרמיטיביים.
  • שברים משולבים.
  • מספרים אלגבריים וקרובים דיאופנטיים
  • יסודות תורת המספרים האלגברית

תורת המשחקים

פרופ' דניאל ברנד

יום א 12:00 - 11:00 בקרייטמן-זלוטובסקי(חדש) [34] חדר 205
יום ד 18:00 - 16:00 בבנין 90 (מקיף ז‘) [90] חדר 144

הקורס יציג את תורת המשחקים בעיקר מנקודת מבט מתימטית. הנושאים שיכוסו:

  1. משחקים קומבינטוריים.
  2. משחקי שני שחקנים סכום אפס.
  3. תכנון ליניארי.
  4. משחקי סכום כללי.
  5. נקודות שווי-משקל.
  6. משחקי תור אקראי.
  7. התאמות יציבות.
  8. הצבעות.
  • יריעות טופולוגיות. חבורה יסודית ומרחבי כיסוי. שימושים.
  • הומולוגיה סינגולרית ושימושים.
  • יריעות גזירות. תבניות דיפרנציאליות ומשפט Stokes. הגדרת קוהומולגית de Rham
  • נושאים נוספים אם ישאר זמן

מושגי יסוד באנליזה מודרנית(#)

ד"ר יזהר אופנהיים

יום א 14:00 - 12:00 בבנין 90 (מקיף ז‘) [90] חדר 225
יום ד 18:00 - 16:00 בגולדברגר [28] חדר 204

מרחבי בנך ומרחבי הילברט. תכונות בסיסיות של מרחבי הילברט. מרחבים וקטורים טופולוגיים. משפט בנך-שטיינהאוס (עקרון החסימות במידה שווה), משפט ההעתקה הפתוחה ומשפט הגרף הסגור. משפט האן-בנך. דואליות. מידות על מרחבים קומפקטיים מקומית, המרחב הדואלי של $C(X)$. טופולוגיות חלשות וחלשות-$*$, משפט בנך-אלאוגלו. קמירות ומשפט קריין-מילמן. משפט סטון-ויירשטראס. אופרטורים קומפקטיים על מרחב הילברט. מבוא לאלגבראות בנך ולתורת גלפנד. נושאים נוספים ככל שיתיר הזמן.

רשימת נושאים
  1. מודולים: מודולים חופשיים, סדרות מדוייקות, מכפלה טנזורית, מודולי הום, שטיחות.
  2. אידיאלים ראשוניים ולוקליזציה: חוגים מקומיים, הלמה של נאקיאמה, הספקטרום של חוג, מימד וקשירות.
  3. חוגים נתריאניים: משפט הבסיס של הילברט, הלמה של ארטין-ריס, השלמה, דירוג.
  4. תורת המימד: משפט האפסים של הילברט, משפט הנירמול של נתר, מעלת טרנסצנדנטיות של שדות.

. מספרים מרוכבים: הצגה קרטזית והצגה קוטבית. פונקציות מרוכבות, תכונות יסודיות של פונקציות אנליטיות, הפונקציה המעריכית, פונקציות טריגונומטריות. הגדרת אינטגרל קווי, נוסחת קושי. רזידואוס וקוטב. שימושים ברזידואוס לחישוב של אינטגרלים לא אמיתיים. 2. מרחבי מכפלה פנימית של פונקציות. מערכות אורתוגונליות ומערכות אורתונורמליות. טורי פורייה מוכללים. משפט היטל אורתוגונלי. אי-שוויון בסל, שוויון פרסבל. 3. טורי פורייה טריגונומטריים. טור פורייה מרוכב. טורי פורייה בקטעים שונים. התכנסות נקודתית והתכנסות במידה שווה של טור פורייה. שלמות של מערכת טריגונומטרית ושוויון פרסבל. גזירה ואינטגרציה של טור פורייה. 4. אינטגרל פורייה כגבול של טור פורייה. התמרת פורייה: הגדרה ותכונות יסודיות. התמרת פורייה הפוכה. משפט הקונבולוציה, שוויון פרסבל עבור התמרת פורייה. הקשר בין התמרת פורייה והתמרת לפלס. שימושים למשוואות דיפרנציאליות חלקיות, שימושים לעיבוד אותות. 5. תורת ההתפלגויות (דיסטריבוציות). פונקציית הביסייד, פונקצית דלטה. גזירת התפלגויות. סדרות מתכנסות של התפלגויות. התמרת פורייה במרחב התפלגויות.

המספרים הממשיים (מערכת האקסיומות). סופרימום ואינפימום של קבוצה. קיום שורשים של מספרים חיוביים. 1. סדרות מתכנסות. תת-סדרות. סדרות קושי. משפט בולצנו-ויירשטראס. גבולות עליונים ותחתונים. 2. טורים. סכומים חלקיים. טורים מתכנסים ומתבדרים. תנאי קושי. טורים של מספרים אי-שליליים. מבחני השורש והמנה. טורים כלליים. מבחני דיריכלה, לייבניץ ואבל. שינוי סדר הסכימה. משפט רימן. 3. גבול של פונקציה. פונקציות רציפות. רציפות של פונקציות אלמנטאריות. תכונות של פונקציות רציפות בקטע סגור. פונקציות רציפות במידה שווה. משפט קנטור. 4. הנגזרת של פונקציה. משפט הערך הממוצע. נגזרות מסדר גבוה. כלל לופיטל. משפט טיילור.

  • שדות: הגדרת שדה, מספרים מרוכבים.
  • משוואות ליניאריות: פעולות אלמנטריות, דרוג, מערכות הומוגניות ולא הומוגניות, הצגת פתרונות.
  • מרחבים ווקטוריים: דוגמאות, תת-מרחבים,תלות ליניארית, בסיסים, מימד.
  • חשבון מטריצות: חיבור וכפל מטריצות, פעולות אלמנטריות, מטריצה הפכית, דטרמיננטה, כלל קרמר.
  • טרנספורמציות ליניאריות: דוגמאות, גרעין ותמונה, הצגה מטריציאלית.
  • ליכסון אופרטורים: ערכים ווקטורים עצמיים, פולינום אופייני, שימושים.
  • תבניות בילינאריות
  • מרחבים עם מכפלה פנימית (ממד סופי)
  • אופרטורים על מרחבים אלו: הצמוד, אופרטורים צמודים לעצמם, אוניטריים נורמאליים, כולל לכסון.
  1. ישרים ומישורים. המכפלה הווקטורית. פונקציות וקטוריות ממשיות, מסילות במישור, משיקים, תנועה על מסילה 2. פונקציות של כמה משתנים: קבוצות פתוחות וסגורות, גבולות, רציפות, גזירות, הנגזרת הכוונית, נגזרות חלקיות, גרדיינט, שדות סקלריים ושדות וקטוריים, כלל השרשרת, היקוביאן. נגזרות סתומות ומשפט הפונקציות הסתומות. בעיות אקסטרמום במישור ובמרחב: ההסיאן ומבחן הנגזרת השניה, כופלי לגרנז‘. 3. אינטגרלים קווים במישור ובמרחב, הגדרה בסיסית ותכונות יסוד, עבודה, אי תלות במסלול, הקשר עם הגרדיינט, בניית פונקציות פוטנציאל. שימושים למשוואות דיפרנציאליות רגילות: משוואות דיפרנציאליות מדויקות וגורם אינטגרציה. אינטגרליים מסילתיים מהסוג השני ואורך מסילה. 4. אינטגרלים כפולים ומשולשים - הגדרות ותכונות בסיסיות, משפט פוביני, החלפת משתנה והיקוביאן, קואורדינאטות פולריות במישור וגליליות וכדוריות במרחב. משפט גרין במישור. 5. הצגות משטחים במרחב - הצגה פרמטרית, נורמל למשטח, שטח של משטח פרמטרי, אינטגרל משטחי ורפרמטריזציה. 6. רוטור ודיברגנץ של שדות וקטוריים. משפטי גאוס וסטוקס.

מרחבי מצב ופונקציות תמסורת, יציבות במרחב מצב ויציבות קלט-פלט, מערכות הניתנות לצפייה ולבקרה, תורת מימוש, מטריצות הנקל, משוב של המצב ויצוב של מערכות, משואות ריקטי.

התהליך diffusion limited aggregation (או בקצרה DLA) הוא אחד התהליכים המרתקים בפיסיקה. למרות שהוא מוכר ונחקר כבר כמעט 40 שנה, עדיין רב הנסתר על הגלוי. התהליך נחקר בעיקר בגירסה המישורית שלו. בפרויקט הזה אנו נבצע סימלציות ממוחשבות של DLA בשריגים שונים, אאוקלידים ולא אאוקלידים. המטרה היא לקבל תמונות של צביר החלקיקים כדי להבין את התנהגות התהליך לטווח ארוך. כמו כן, נשתמש בסימולציות למדידת מדדים שונים של הצביר, כגון קצב התקדמות, מימד פרקטלי, ועוד.

1) מרחב הסתברות 2) נוסחת ההסתברות השלימה 3) הסתברות מותנה, אי תלות מאורעות 4) נוסחת בייס 5) משתנה מקרי בדיד. התפלגויות בדידות: אחידה, ברנולי, בינומי, גיאומטרי, פואסון 6) משתנה מקרי רציף. התפלגויות רציפות: אחידה, מעריכית, נורמלית 7) משתנה מקרי דו ממדי בדיד 8) אי תלות של משתנים מקריים 9) תוחלת 10) שונות, שונות משותפת, מקדם מתאם

  1. מרחב מדגם, מרחבי הסתברות סימטריים, מרחבי הסתברות בדידים.
  2. מרחבי הסתברות כלליים; הסתברויות על הישר בעזרת צפיפויות.
  3. דוגמאות הקשורות לאלגוריתמים המכילים מרכיב של אקראיות.
  4. הסתברות מותנית ומאורעות בלתי תלויים.
  5. משתנים מקריים ופונקציות ההתפלגות שלהם.
  6. תוחלת, שונות ומומנטים של משתנים מקריים בדידים, רציפים ובעלי התפלגויות כלליות.
  7. פונקציות של משתנים מקריים והתוחלת שלהן.
  8. משתנים מקריים בלתי תלויים, אי שוויון צ‘בישב וחוק המספרים הגדולים.
  9. משפט הגבול המרכזי
  10. וקטורים מקריים, צפיפות משותפת (בדידה ורציפה), התפלגויות שוליות, חישוב מקדם המתאם.

מושגי יסוד, משוואות מסדר ראשון, משוואות ליניאריות מסדר שני, התמרת לפלס, קונוולוציה, מערכות משוואות, משואות מסדר n, פתרונות על ידי טורים, משוואות אוילר.

הקורס יעסוק באלגברה לינארית מעל המספרים הממשיים והמרוכבים. 1. המספרים המרוכבים ותכונותיהם. משוואות ליניאריות: פעולות אלמנטריות, דרוג, מערכות הומוגניות ולא הומוגניות. 2. מרחבים ווקטוריים מעל לממשיים ולמרוכבים: דוגמאות, תת-מרחבים, תלות ליניארית, בסיסים, מימד. 3. אלגברה של מטריצות: חיבור וכפל מטריצות, פעולות אלמנטריות, פירוק LU , מטריצה הופכית, דטרמיננטה, כלל קרמר. 4. טרנספורמציות ליניאריות: דוגמאות, גרעין ותמונה, הצגה מטריציאלית. 5. מכפלות פנימיות, סדרות אורתונורמליות, תהליך גרם-שמידט. 6. ליכסון מטריצות: ערכים ווקטורים עצמיים, הפולינום האופייני. אם יתיר הזמן: מטריצות אוניטאריות ואורתוגונאליות ולכסון מטריצות הרמיטיות וסימטריות.

1) מרחב ההסתברות2) הסתברות מותנית, אי-תלות מאורעות, נוסחת ההסתברות השלמה, נוסחת בייס.3) משתנה מקרי בדיד. התפלגויות בדידות: אחידה, בינומית, גיאומטרית, היפרגאומטרית, בינומית שלילית, פואסון.4) משתנה מקרי רציף. התפלגויות רציפות: אחידה, מעריכית, נורמלית.5) משתנה מקרי דו-מימדי בדיד, אי-תלות של משתנים מקריים.6) תוחלת, שונות, מקדם המתאם.7) אי-שייון צ‘בישב, חוק המספרים הגדולים.8) משפט הגבול המרכזי, קירוב נורמלי.

  1. משוואות דיפרנציאליות רגילות: פתרונות מפורשים למשוואות דיפרנציאליות מסדר ראשון. משוואות דיפרנציאליות מסדר שני. משוואות דיפרנציאליות מסדר גבוה, מערכות של משוואות דיפרנציאליות רגילות.
  2. טורי פורייה ושימושיהם: חזרה על טורי פונקציות. פיתוחי פורייה ותכונות של טורי פורייה, התכנסות של טורי פורייה, תופעת גיבס. שימושים למשוואת החום.
  3. שימושים נוספים ככל שיתיר הזמן.
  1. משוואות דיפרנציאליות רגילות: פתרונות מפורשים למשוואות דיפרנציאליות מסדר ראשון. משוואות דיפרנציאליות מסדר שני. משוואות דיפרנציאליות מסדר גבוה, מערכות של משוואות דיפרנציאליות רגילות.
  2. טורי פורייה: חזרה על טורי פונקציות. פיתוחי פורייה ותכונות של טורי פורייה, התכנסות של טורי פורייה, תופעת גיבס. שימושים למשוואות דיפרנציאליות רגילות מחזורית.
  3. טרנספורם לפלס, שימושים למשוואות דיפרנציאליות רגילות.

מושגי יסוד, שדות כוונים. משוואות דיפרנציאליות מסדר ראשון, משוואות ספרביליות ומדויקות, גורם אינטגרציה. שיטות ישירות לפתרון משוואות דיפרנציאליות מסדר ראשון, משוואות ברנולי. קירובי אוילר. דוגמאות, גידול אוכלוסיה. משוואות דיפרנציאליות מסדר שני. משוואות עם מקדמים קבועים, מרחב הפתרונות, הורונסקיאן. משוואות לא הומוגניות, וריאציה של הפרמטרים. מערכות של שתי משוואות מסדר ראשון עם מקדמים קבועים. דוגמאות ושימושים.

גבולות ורציפות של פונקציות, יישומים פונקציות גזירות, יישומים כללי גזירה, גזירה של פונקציות סתומות, יישומים חקירת פונקציות, פונקציות מרובות משתנים, נגזרות חלקיות, יישומים האינטגרל המסוים, האינטגרל הלא מסוים, יישומים של אינטגרלים, טכניקות אינטגרציה, פולינומי טיילור, משוואות דיפרנציאליות פשוטות

  1. מבוא: שדות המספרים הממשיים והמרוכבים, פולינומים. מערכות משואות ליניאריות ופתרונן בשיטת האלימינציה של גאוס. 2. מרחבים וקטוריים: דוגמאות, מושגים בסיסיים, בסיס ומימד של מרחב וקטורי. ישום מרחבים ווקטוריים בפתרונות של מערכות משואות ליניאריות. 3. מטריצה הופכית, דטרמיננטות. 4. מכפלה סקלרית, אורתוגונליות ותהליך גראם שמידט.5. טרנספורמציות ליניאריות: גרעין ותמונה, מטריצה של טרנספורמציה, החלפת בסיס.6. ערכים עצמיים, מציאת וקטורים עצמיים ולכסון מטריצות.

. מד‘’ח לינאריות מסדר 2: מיון, צורה קנונית.2. טורי פוריה (הגדרה, משפט פוריה, המשכיות זוגית ואי-זוגית, נגזרת, התכנסות במידה שווה).3. דוגמאות: משוואת החום (בעיות דיריכלה וניומן), משוואת הגלים (mixed type problem), משוואת הפוטנציאל על מלבן.4. סופרפוזיציה של פתרונות; משוואות אי-הומוגניות.5. משוואת החום האי-סופית והחצי אי-סופית: אינטגרל פוריה, פונקציית גרין, עקרון דוהמל.6. משוואת הגלים האיסופית והחצי אי-סופית: פתרון דלמבר.7. משוואת הפוטנציאל על העיגול: נוסחת פואסון, פתרון כטור.

  1. המספרים הממשיים. סופרימום ואינפימום של קבוצה. 2. סדרות מתכנסות. תת-סדרות. סדרות קושי. משפט בולצנו-ויירשטראס. גבולות עליונים ותחתונים. 3. טורים. סכומים חלקיים. טורים מתכנסים ומתבדרים. תנאי קושי. טורים של מספרים אי-שליליים. מבחני השורש והמנה. טורים כלליים. מבחן לייבניץ לטורים עם סימנים מתחלפים. שינוי סדר הסכימה (ללא הוכחה). 4. גבול של פונקציה. פונקציות רציפות. רציפות של פונקציות אלמנטאריות. תכונות של פונקציות רציפות בקטע סגור: חסימות וקיום האקסטרמום. רציפות במידה שווה, משפט קנטור. 5. הנגזרת של פונקציה. משפט הערך הממוצע. נגזרות מסדר גבוה. כלל לופיטל. משפט טיילור. שארית לגרנז‘.
  1. פונקציות. תחום הגדרה וטווח. גרף. מונוטוניות, זוגיות, מחזוריות. הרכבת פונקציות. פונקציה הפוכה.
  2. סדרות. גבולות של סדרות.
  3. גבול של פונקציה בנקודה. רציפות.
  4. נגזרת. משמעות גאומטרית ופיסיקלית. כללי שרשרת. נגזרות מסדר גבוה.
  5. משפט לגרנז‘ (משפט הערך הממוצע לפונקציות גזירות). כללי לופיטל.
  6. בעיות קיצון. אקסטרמומים של פונקציה רציפה בקטע סגור.
  7. חקירת פונקציות ובניית גרפים.
  8. דיפרנציאל. קירוב ליניארי. נוסחאות טיילור ומקלורן.
  9. אינטגרל בלתי מסוים. הגדרה ותכונות. אינטגרלים מידיים.
  10. הצבה ואינטגרציה לפי חלקים.
  11. אינטגרל מסוים. נוסחת ניוטון - ליבניץ. משפט הערך הממוצע לפונקציות רציפות. אינטגרל לא אמיתי.
  12. חישוב שטחים, אורכי עקומה ונפחי גופי סיבוב. חישוב מסה ומרכז כובד.
  13. קאורדינטות קוטביות. חישוב שטחים ואורכי עקומה בקואורדינטות קוטביות.
ספרות:
  1. G.B. Thomas and L.R. Finney, Calculus and Analytic Geometry, 9th Ed, Addison-Wesley (World Student Series), 1996.

  2. ה.אנטון, חשבון דיפרינציאלי ואינטגרלי א‘, האוניברסיטה הפתוחה, רמת אביב, תל-אביב, תשנ“ט, 1999.

1) מערכת המספרים הממשיים: המספרים בטבעיים, סדר טוב, המספרים השלמים, המספרים הרציונאליים, הפעולות האריתמטיות ואכסיומות השדה, הסדר על המספרים הרציונאליים, ארכימדיות, אי השלימות של הרציונאליים, מספרים אי רציונאליים ומושג השלימות, קבוצות חסומות, חסם מלעיל וחסם מלרע, מכסימום ומינימום, סופרמום ואינפימום, חזקות רציונאליות ואי רציונאליות, אי שיויונות בסיסיים (ברנולי, CAUCHY-SCHWARZ , הממוצעים), מציאת כל השורשים הרציונאליים של משוואה פולינומיאלית מעל הרציונאליים. 2) סדרות וגבולותיהן, אריתמטיקה של גבולות, התבדרות ושאיפה לאינסוף, אי שיויונות בין סדרות ובין גבולותיהן, משפט הסנדוויץ‘, סדרות מונוטוניות, סדרות רקורסיביות, הלמה של CANTOR , סדרות חלקיות, משפט בולצאנו-ווירשטרס, האקספוננט, קריטריון CAUCHY להתכנסות סדרות. 3) פונקציות במשתנה יחיד, פעולות אריתמטיות על פונקציות, מונוטוניות, הפונקציות האלמנטריות. 4) הגבול של פונקציה, ההגדרה הסידרתית וההגדרה הלא סידרתית, אריתמטיקה של גבולות, גבולות חד צדדיים, פונקציות חסומות, סדר הגודל של פונקציה ( או גדול ו-או קטן). 5) פונקציות רציפות, מיון נקודות אי רציפות, משפט ערך הביניים ושימושיו, רציפות ומונוטוניות. 6) הנגזרת של פונקציה, הגרף של פונקציה ומשיק לגרף, שיפוע המשיק, המהירות, גזירות ורציפות, האריתמטיקה של אופרטור הגזירה ובפרט כלל LEIBNITZ, הרכבה של פונקציות, כלל השרשרת, נגזרות מסדר גבוה, משפט פרמה, משפט רול, משפט ערך הביניים של LAGRANGE , משפט ערך הביניים של CAUCHY , הכלל של לו‘פיטל, משפט טיילור. 7) חקירת פונקציות, מכסימום ומינימום מקומיים וגלובליים, נקודות פיתול, קמירות וקעירות, אסימפטוטות. 8) האינטגרל הלא מסויים, פונקציה קדומה, שיטות אינטגרציה: אינטגרציה ע“י פירוק, אינטגרציה בחלקים, הצבות, אינטגרציה של פונקציות רציונאליות. 9) האינטגרל המסויים, השטח המוגבל ע“י גרף פונקציה והמשפט היסודי של החשבון הדיפרנציאלי והאינטגרלי, אריתמטיקה של אינטגרלים, אי שיויון המשולש, ובתלות בזמן שנותר גם: נפח גופי סיבוב, אורך קשת.

. מרחב הסתברות: מרחב מדגם, פונקציה הסתברות, מרחב הסתברות סימטרי סופי, קומבינטוריקה. הסתברות גיאומטרית. הסתברות מותנית, אי-תלות של מאורעות, נוסחת ההסתברות השלמה, נוסחת בייס.2. משתנה מקרי בדיד, התפלגויות מיוחדות: אחידה, בינומית, גיאומטרית, בינומית שלילית, היפרגיאומטרית ופואסונית, תהליכי פואסון. 3. משתנה מקרי רציף, פונקצית צפיפות, פונקצית התפלגות מצטברת. התפלגויות מיוחדות: אחידה, מעריכית, גמה ונורמלית. טרנספורמציה של משתנה מקרי מעורב.4. התפלגות של מקסימום ומינימום. משתנה מקרי מעורב.5. מומנטים של משתנה מקרי. תוחלת ושונות, אי-שוויון צ‘בישב.6. וקטור מקרי, פונקציית הסתברות משותפת, צפיפות משותפת, התפלגויות שוליות.7. משפט הגבול המרכזי. קירוב נורמלי. חוק המספרים הגדולים.

משוואות דיפרנציאליות מסדר ראשון: משוואות ניתנות להפרדת משתנים, משוואות מדויקות, משוואות לינאריות ומשוואות ברנולי. קיום ויחידות. משוואות דיפרנציאליות מסדר שני: שיטות להורדת סדר, משוואות לינאריות, ורונסקיאן, וריאציה של פרמטרים, משוואות לינאריות עם מקדמים קבועים ושיטת השוואת מקדמים. משוואות דיפרנציאליות מסדר n. משוואות אוילר. מערכות של משוואות דיפרנציאליות: שיטת חילוץ, שימוש באלגברה לינארית. התמרת לפלס, תכונות התמרת לפלס, פתרון משוואות ליניאריות לא הומוגניות באמצעות התמרת לפלס, פונקצית הביסייד (מדרגה), פונקציות רציפות למקוטעין, פונקצית דלטה. קונבולוציה.

  1. מרחבי מכפלה פנימית ומרחבים נורמיים. משפט על קיום היטל לתת- מרחב בעל מימד סופי. מערכות אורתונורמליות ואורתוגונליות במרחבים ממימד אינסופי. אי שיויון בסל ושיויון פרסבל, מערכות אורתונורמליות סגורות. מערכת האר.
  2. טור פורייה (הצורה הממשית והצורה המרוכבת).קירובי יחידה, שלמות של המערכת הטריגונומטרית\האקספוננציאלית. התכנסות במידה שווה של טורי פורייה של פונקציות גזירות ברציפות למקוטעין בקטעים סגורים של רציפות. תופעת גיבס. גזירה ואינטגרציה איבר-איבר.
  3. התמרת פורייה. משפט הקונבולוציה. שיויון פלנשרל. שימושים לפונקציות חסומות בתדר ומשפט הדגימה של שנון.
  4. התמרת לפלס. נוסחאות בסיסיות והקשר להתמרת פורייה. טבלת התמרות לפלס. קונבולוציות. שימושים של התמרת לפלס לפתרון של משוואות דיפרנציאליות רגילות.
  5. מבוא לפילוגים (דיסטריבוציות). גזירה של פילוג, דלתא של דיראק ונגזרותיה. טורי פורייה, התמרת פורייה והתמרת לפלס של פילוגים.
  1. מושג הגבול, גבול של פונקציה.2. רציפות, רציפות חד-צדדית. 3. הנגזרת וכללי הגזירה היסודיים, נגזרות הפונקציות הטריגונומטריות. 4. גזירת פונקציות הפוכות ופונקציות סתומות. 5. מקסימום ומינימום. הערך הגדול ביותר של פונקציה רציפה בקטע. 6. משפט הערך הממוצע וחקירת הפונקציה. 7. נגזרת שנייה ושימושיה. קמירות וקעירות, שירטוט גרפים. 8. חישוב גבולות לביטויים לא מוגדרים. משפט לופיטל. 9. הדיפרנציאל וקרוב מסדר ראשון. משפט טיילור וקרובים מסדר גבוה. 10. אינטגרציה: הגדרה. כל פונקציה רציפה היא נגזרת. 11. שיטות אינטגרציה. הצבה, חלקים. 12. משוואה דיפרנציאלית ותנאי התחלה, פתרון על ידי הפרדת המשתנים. 13. האינטגרל המסויים. שטחים, האינטגרל כפונקציה של הגבול העליון. 14. אינטגרציית פונקציות רציונליות על-ידי שברים חלקיים. 15. אינטגרציה על-ידי הצבות טריגונומטריות. 16. אינטגרלים לא-אמיתיים. 17. נפח גוף סיבוב. 18. אורך עקומה. 19. קואורדינטות קטביות. 20. גרפים בקואורדינטות קטביות. 21. אורך עקומה ושטח בקואורדינטות קטביות.
סילבוס:
  1. קבוצות: שייכות, איחוד, חיתוך, הפרש.

  2. מכפלה קרטזית, מושג היחס, יחסי שקילות, יחס סדר חלקי, יחס סדר קווי. הגדרת פונקציה כקבוצת סדורים.

  3. תחשיב הפסוקים: ו/או גרירה, שקילות וטבלאות האמת שלהם, ערך האמת של פסוקים בהשמה, שקילות לוגית וגרירה לוגית, טאוטולוגיות ופסוקים שקריים, הטאוטולוגיות החשובות: למשל, חוקי הפילוג, ונוסחאות דה-מורגן.

  4. תחשיב הפרדיקטים: הגדרת שפת תחשיב הפרדיקטים ומשמעותה; הגדרת מבנים; נוסחאות ופסוקים; הסתפקות במבנה ובהשמה, אמיתיות לוגית, גרירה לוגית, שקילות לוגית; השקילויות החשובות, סדר הכמתים, הכנסת השלילה פנימה.

  5. תורת הקבוצות: התאמות חד-חד-ערכיות, הרכבת פונקציות והפונקציה ההפוכה; יחסי שקילות; הגדרת העוצמה, שיוויון עוצמות ואי-שיוויון עוצמות; משפט קנטור ברנשטיין (ללא הוכחה), המשפט שכל שתי עוצמות נתנות להשוואה (ללא הוכחה); משפט קנטור על עוצמת קבוצות החזקה $|\mathbb{R}|=|\mathcal{P}(\mathbb{N})|$, $|\mathbb{Q}|=|\mathbb{N}\times\mathbb{N}|=|\mathbb{N}|$.

מספרים ממשיים (ללא חתכי דדקינד). סופרמום כאקסיומה. סדרות מתכנסות, תתי סדרות, סדרה מונוטונית וחסומה, גבולות עליונים ותחתונים. טורים: סכומים חלקיים, מתכנסים ומתבדרים, דוגמאות, טורים אי שלילייים, מבחני שורש, מנה, טורים כלליים, דיריכלה, לייבנייץ (סימנים מתחלפים), התכנסות בהחלט גוררת התכנסות (ללא הוכחה). גבול של פונקציה, רציפות, רציפות הפונקציות האלמנטריות, אקסטרמום בקטע סגור. הנגזרת של פונקציה, משפט הערך הממוצע של לגרנג‘, נגזרות מספר גבוה, לופיטל, משפט טיילור, הערכות שגיאה, הרבה דוגמאות. אינטגרל רימן: רק עם פונקציות רציפות למקוטעין (מספר נקודות אי-רציפות סופי). סכומי רימן והגדרת האינטגרל, המשפט היסודי של החשבון הדיפרנציאלי והאינטגרלי, וקיום פונקציות קדומות. שיטות אינטגרציה: אינטגרציה בחלקים, חילוף משתנים, שברים חלקיים (ללא הוכחה מלאה), אינטגרלים לא אמיתיים, שימושים של אינטגרציה, הערכה של טורים באמצעות אינטגרלים מושג ה- O, ה-o ו- ? (למשל: ??“dx“ /“x“ ” עם ידי השוואה ע“ ל ?”k=1“ ^“N“ ?“1“ /“k“ ” =?“ (”logN“ )). חישובים מקורבים למומנטים ?”n=1“ ^“N“ ?“n“ ^“?“ , נוסחת Stirling.

שדות ומטריצות, מרחבים וקטוריים מעל שדה, משוואות ליניאריות מעל שדה, דטרמיננטות, מרחבים דואליים, טרנספורמציות ליניאריות.

חזרה על הסתברות: מושגים בסיסיים. משתנים מקריים, התמרה של משתנים מקריים, אי-תלות. תוחלת, שונות, מתאם, תוחלת מותנית. אי-שוויונות: הערכת הממוצע. אי-שוויון Hoeffding. התכנסות של משתנים מקריים: סוגי התכנסות. חוק המספרים הגדולים. משפט הגבול המרכזי. הסקה סטטיסטית: מבוא. מודלים פרמטריים ומודלים אי-פרמטריים. אמידה נקודתית, רווח בר-סמך, בדיקת השערות. אמידה נקודתית פרמטרית: שיטות למציאת אומדים: שיטת המומנטים; נראות מקסימלית; שיטות אחרות. תכונות של אומדים נקודתיים: הטיה; פונקצית הפסד ? תוחלת רבוע הטעות; עקביות. תכונות של אומד נראות מקסימלית. דוגמאות לחישוב אומד נראות מקסימלית. אמידה ברווח: מבוא. משתנה הציר. דגימה מהתפלגות נורמלית: רווח בר-סמך עבור תוחלת ושונות. רווח בר-סמך עבור מדגמים גדולים. עקרונות בדיקת השערות: מודלים פרמטריים לעומת אי-פרמטריים. מבוא והגדרות עיקריות. דגימה מהתפלגות נורמלית. p-values. התפלגות ?^2 ומבחני ?^2. מבחני טיב התאמה. מבחני אי-תלות. פונקצית התפלגות אמפירית. מבחן קולמוגורוב-סמירנוב. רגרסיה: רגרסיה לינארית. שיטת הרבועים הפחותים ונראות מקסימלית. תכונות של אומדים. חזוי. טפול ב‘רעש‘; תוצאות חריגות.

פונקציות אלמנטריות בסיסיות. פונקציות חד-חד ערכיות, הפוכות, מונוטוניות, זוגיות ואי זוגיות. פונקציה מורכבת. גבול של פונקציה. המספר e. גבולות חד-צדדיים. רציפות של פונקציה. תכונות של פונקציה רציפה. 2. מושג הנגזרת. כללי גזירה. נגזרת מסדר גבוה. נגזרת של פונקציה מורכבת. כלל לופיטל. חישוב גבולות. דיפרנציאל. 3. חקירת פונקציה. תחומי עליה וירידה, קמירות וקעירות. נקודות פיתול. מקסימום ומינימום מקומיים. אסימפטוטות. חקירה מלאה של פונקציה. גמישות. שימושים בכלכלה.4. פונקציה קדומה ואינטגרל לא מסויים. כללי אינטגרציה. אינטגרלים מידיים. האינטגרל המסוים. חישוב שטחים. שימושי האינטגרל בכלכלה. אינטגרלים לא אמיתיים. 5. מושג הפונקציה של כמה משתנים. עקומות שוות ערך. נגזרות חלקיות מסדר שני. דיפרנציאל שלם. כלל השרשרת. פונקציות סתומות ונגזרתן. פונקציות הומוגניות ותכונותיהן. 6. אקסטרמום של פונקציה של שני משתנים. מקסימום ומינימים מקומי. תנאי הכרחי לקיום אקסטרמום מקומי. תנאי מספיק. אקסטרמום בתנאי. שיטת כופלי לגרנז‘. 7. מטריצות. מושגים יסודיים על מטריצות. פעולות אלמנטריות במטריצות. מטריצה הפוכה. פתרון מערכת של משוואות ליניאריות בעזרת מטריצה הפוכה.

  1. מבוא: שדות המספרים הממשיים והמרוכבים, פולינומים.
  2. מערכת משואות ליניאריות ופתרונן בשיטת האלימינציה של גאוס.
  3. מרחבים וקטוריים: דוגמאות (מרחב אוקלידי דו- ממדי ותלת- ממדי, מרחבי פונקציות, מרחבי מטריצות),מושגים בסיסיים, בסיס ומימד של מרחב וקטורי. ישום מרחבים וקטוריים בפתרונות של מערכות משואות ליניאריות.
  4. מטריצה הופכית, דטרמיננטה, מכפלה סקלרית.
  5. טרנספורמציות ליניאריות: גרעין ותמונה, מטריצה של טרנספורמציה, החלפת בסיס.
  6. ערכים עצמיים, מציאת וקטורים עצמיים ולכסון מטריצות.
  1. מערכת המספרים הממשיים, אי שיויונים במספרים ממשיים, מערכת המספרים המרוכבים, ההצגות הקרטזית, הפולרית והמעריכית, משפט ד‘מואבר, חישוב שורשים.
  2. מערכות משוואות לינאריות מעל המספרים הממשיים או המרוכבים, קבוצת הפתרון והצגתה הפרמטרית, מטריצות מדורגות, ומטריצות מדורגות מצומצמות, הצבה לאחור והצבה לפנים וסיבוכיות התהליכים, אלגוריתם הדירוג של גאוס וסיבוכיותו, אלגוריתם הצימצום וסיבוכיותו
  3. המרחב הוקטורי, תת-מרחבים וקטוריים, צירופים לינאריים, המרחב הנפרש ע“י קבוצת וקטורים, תלות ואי-תלות לינאריים, המימד של מרחב וקטורי, מרחבי שורה ומרחבי עמודה של מטריצות, הדרגה של מטריצה.
  4. העתקות לינאריות בין מרחבים וקטוריים, העתקות הפיכות ואיזומורפיזמים, הצגה מטריצית של העתקות לינאריות סוף מימדיות, היפוך מטריצות ריבועיות, הרכבת העתקות, כפל מטריצות, האלגברה של מטריצות, הגרעין והתמונה של העתקה לינארית וחישוב בסיסים עבורם, מעבר בין בסיסים, משפט המימד עבור העתקות לינאריות המשלים האורתוגונלי ,Cauchy-Schwarz 5. מרחבי מכפלה פנימית, נורמה, קבוצות אורתונורמליות, אי שיויון טרנספורמציות אורתוגונליות ומטריצות ,Gram-Schmidt של תת-מרחב, סדרות אותוגונליות, האלגוריתם של אורתוגונליות. , Laplace המטריצה הנילוית ונוסחת , Laplace 6. הדטרמיננט של מטריצה ריבועית, מינורים וקופקטורים, פיתוחי טרנספורמציות דימיון ואינוריאנטות שלהן ( הדטרמיננט והעכבה). ,P ע“י מטריצה הפיכה A הצמדה של מטריצה
  5. ערכים עצמיים, וקטורים עצמיים ומרחבים עצמיים, ליכסון ודימיון, הפולינום האופייני, הריבוי האלגברי והריבוי הגיאומטרי של ערך עצמי, משפט הספקטרלי עבור מטריצות הרמיטיות. Syllabus

. מבוא: מושגים יסוד מתורת הפונקציות:שדות מספריים (רציונליים, ממשיים).שדה המספרים המרוכבים), הצגה אלגברית, הצגה קוטבית (טריגונומטרית), נוסחת אוילר, מציגות שרשרם הגדרת שדה. שדות סופיים Zp.2. מערכת משוואות ליניאריות מעל השדות הנ“ל:הגדרת מושגים בסיסיים. מערכות שקולות, פעולות יסודיות, פתרון על ידי שיטת האלימינציה של גאוס, מערכת משוואות ליניאריות ומטריצות, הצגה מטריצאלית של מערכת ופתרון של מערכת בעזרת ההצגה. דרגת מטריצה, דרגות חופש. צורה קנונית, מערכות הומוגניות. פתרון כללי למערכות לא הומוגניות בעזרת פתרון כללי להומוגנית המתאימה.3. מרחבים ווקטוריים מעל שדה:הגדרה ודוגמאות (מרחב שורות, מרחב מטריצות, מרחב פולינומים, מרחב פונקציות). תת-מרחבים. דוגמאות, קריטריון של תת-מרחב. חיתוך וחיבור תת מרחבים. קומבינציה ליניארית של וקטורים. פרישה ליניארית. תלות ואי תלות ליניארית. בסיס וממד. משפט המימד עבור סכום תתי-מרחבים. מרחב השורה ומרחב העמודה של מטריצה, דרגה של מטריצה, משוואות ליניאריות ומרחבים וקטוריים, קואורדינטות.4. מטריצות:כפל מטריצות, מטריצות ריבועיות, חזקות ופולינומים של מטריצות, אלכסון ועקבה, סוגים של מטריצות, מטריצות הפיכות, חישוב של מטריצה הופכית, שינוי בסיס.5. דטרמיננטות:מקרים פרטיים (n=2,3), הגדרה רקורסיבית, פיתוח לפי שורה ועמודה, תכונות (תשובות dif=0, כפליות,מולטילינאריות), חישוב דטרמיננטות שרירותיות, יישומים: כלל קרמר, מטריצה צמודה וחישוב של מטריצה הופכית.6. פולינומים מעל שדה: התחלקות, פירוק לגורמים ((adjoint, מחלק משותף גדול ביותר.7. טרנספורמציות ליניאריות:הגדרות, דוגמאות (כולל הגדרת אופרטור ליניארי, איזומורפיזם), גרעין ותמונה של טרנספורמציות ליניאריות, משפט המימד, הצגה מטריציונית, החלפת בסיס ודמיון מטריצות.8. ערכים עצמיים ווקטורים עצמיים:לכסון של אופרטורים ליניאריים. הפולינום האופייני, חישוב ערכים עצמיים ווקטורים עצמיים של מטריצה, לכסון מטריצות. 9. מרחבי מכפלה פנימית:הגדרות, אי שוויון קושי שוורץ, אי שוויון בסל, בסיסים אורטוגונליים ואורטונורמליים, תהליך האורטוגונליזציה של גראם שמידט.

תורת הקבוצות. קבוצה, תת-קבוצות. קבוצת חזקה. מכפלה קרטזית של קבוצות. עקרון החיבור ועקרון הכפל . חליפות, תמורות וצירופים . בינום של ניוטון. עקרון האינדוקציה. עקרון ההכלה וההפרדה. עקרון שובץ ויוניםנוסחאות רקורסיה. פונקציה יוצרת.יחסים ופונקציות. תכונות של יחסים .יחס שקילות. מחלקת השקילות . קבוצת המנה. יחסי סדר. תכונות של פונקציות. פונקציות על ופונקציות חח‘’ע. הרכבת פונקציות .פונקציה הפיכה. פונקציה הפוכה.גרפים, תת גרפים, משלים. איזומורפיים של גרפים. נוסחת אוילר. גרפים מישורים. מעגלי ומסלולי אוילר.עציםתחשיב הפסוקים. פעולות על פסוקים. נוסחאות לוגיות. טאוטולוגיות וסתירות. שקילות לוגית. גרירות לוגית. צורה הדיסיונקטיבית הנורמלית של פסוק. דואליות. מערכות שלמות של קשרים.תחשיב היחסים . כמתים. שפת תחשיב הפרדיקטים. נוסחאות. מבנים. שקילות של נוסחאות. פעולות על נוסחאות עם כמתים. צורה פרנכסית נורמלית.מבנים אלגבריים. חבורות, חוגים. ושדות. חוג השלמים מדולו n. אלגברה בוליאנית.

18–2017–ב

  1. יחסי סדר חלקיים. שרשראות ואנטי שרשראות. דוגמאות. משפט ארדש סקרס או משפט אחר להדגמה. בניית סדר חלקי על מנה מעל קדם סדר.
  2. השוואת קבוצות. הגדרת עצמה כמחלקת שקילות. משפט קנטור ברנשטיין. משפט קנטור על קבוצת החזקה.
  3. קבוצות בנות מניה. מניות הריבוע של הטבעיים, הסדרות הסופיות מעל קבוצה בת מניה, בניית הרציונלים. יחידות הסדר הרציונלי.
  4. משפט רמזי. שימושים.
  5. בניית המספרים הממשיים כמנה מעל שקילות סדרות קושי.
  6. הלמה של קניג על עצים בני מניה עם רמות סופיות. שימושים: גרף בן מניה צביע ב-k צבעים אם ורק אם כל תת גרף סופי שלו צביע ב-k צבעים.
  7. סדר טוב. איזומורפיזמים בין סדרים טובים. ניסוח אקסיומת הבחירה כעיקרון הסדר הטוב. דוגמאות. שימוש: גרף כלשהו צביע ב-k צבעים אםם כל תת גרף סופי שלו צביע ב-k צבעים.
  8. הלמה של צורן. שימושים. (קיום בסיס למרחב וקטורי כלשהו; קיום עץ פורש בגרף כלשהו).
  9. דיון באקסיומות של תורת הקבוצות ונחיצותן. הפרדוקס של ראסל. סודרים.
  10. אינדוקציה טרנספיניטית. שימושים: קיום קבוצה במישור שחיתוכה עם כל ישר הוא בגודל 2.
  11. מונים אינסופיים כסודרים פותחים. אריתמטיקה בסיסית של מונים. חישובי עצמות של קבוצות מוכרות?: קבוצת הפונקציות הממשיות הרציפות, האוטומורפיזמים של השדה הממשי (עם ובלי סדר).

מרחבים טופולוגיים ופונקציות רציפות (מרחבי מכפלה, מרחבי מנה ומרחבים מטריים). קשירות וקומפקטיות. תנאי מניה והפרדה (הלמה של אוריסון, משפט המטריזציה של אוריסון, חלוקת קטע היחידה). משפט טיכונוף וקומפקטיפיקציית סטון-צ‘ך. משפטי מטריזציה ופרה-קומפקטיות.

  • ממוצעי צ‘זרו: קונבוליציות, גרעיני סומביליות חיוביים ומשפט פייר.
  • שימושים של משפט פייר: משפט הקירוב של ויירשטראס עבור פולינומים, משפט ההתפלגות במידה אחידה של וייל, בניה של פונקציה רציפה שאיננה גזירה בשום מקום (ככל שיתיר הזמן).
  • התכנסות והתבדרות נקודתית ובמידה שווה של הסכומים החלקיים: גרעין דיריכלה ותכונותיו, בניה של פונקציה רציפה עם טור פורייה מתבדר, בוחן דיני.
  • קירובים בנורמת המכפלה הפנימית. נוסחת פרסבל. התכנסות בהחלט של טורי פורייה של פונקציות גזירות ברציפות. ככל שיתיר הזמן, הבעיה האיזופרימטרית או שימושים שונים.
  • שימושים למשוואות דיפרנציאליות חלקיות. משוואות החום והגלים במעגל ובקטע. גרעיו פואסון ומשוואת לפלס במעגל.
  • טורי פורייה של פוקציונלים לינאריים על מרחב הפונקציות הגזירות ברציפות כמה פעמים. מושג הדיסטריבוציה על המעגל.
  • אם יתיר הזמן, סדרות מוגדרות חיובית ומשפט הרגלוץ.
  • טרנספורם פורייה על הישר: קונבולוציות, נוסחת ההיפוך, משפט פלנשרל, פונקציות הרמיט. אם יתיר הזמן, דיסטריבוציות על הישר, ושימושים למשוואות דיפרנציאליות חלקיות.
  • אנליזת פורייה על חבורות ציקליות סופיות, ואלגוריתם טרנספורם פורייה מהיר.
נושאים
  1. מבוא ומושגים בסיסיים.
  2. חסמים על גודל קודים.
  3. שדות סופיים.
  4. קודים ליניאריים.
  5. קודים מושלמים.
  6. קודים ציקליים.
  7. אריזות כדורים.
  8. חסמים אסימפטוטיים על גודל קודים.

גרפים ותת גרפים, עצים, קשירות, מסלולי אוילר, מעגלים המילטוניים, זיווגים, צביעות של גרפים, גרפים מישוריים, מבוא לתורת רמזי, גרפים מכוונים, שיטות הסתברותיות ואלגבריות בתורת הגרפים.

  • שדות: עובדות בסיסיות ודוגמאות, אפיון (קרקטריסטיקה), שדות ראשוניים
  • פולינומים: פריקות, מבחן איזנשטיין, למת גאוס
  • הרחבות של שדות: תכונת המגדל, הרחבות אלגבריות וטרנסצנדנטיות, צרוף אבר לשדה
  • בניות בסרגל ומחוגה
  • סגורים אלגבריים: קיום ויחידות
  • שדות פיצול
  • הרחבות גלואה: אוטומורפיזמים, נורמליות, ספרביליות, שדות שבת, חבורות גלואה, המשפט היסודי של תורת גלואה
  • הרחבות ציקליות
  • פתרון משואות פולינומיאליות על-ידי רדיקלים: חבורת גלואה של פולינום, הדיסקרמיננטה, נוסחאת קרנדו-טרטגליאה, חבורות פתירות, משפט גלואה אודות פתירות על-ידי רדיקלים
  • שרשי יחידה: הרחבות ציקלוטומיות, הפולינומים הציקלוטומיים ואי-פריקותם
  • שדות סופיים: קיום ויחידות, חבורות גלואה מעל שדות סופיים, אברים פרמיטיביים
  1. טרנספורם פורייה: קונבולוציות, נוסחת ההיפוך, משפט פלנשרל, פונקציות הרמיט, דיסטריבוציות. נוסחת הסכום של פואסון. טרנספורם
  2. פורייה רב-מימדי. טרנספורם לפלס. קשר לקונבולוציות וטרנספורם פורייה. פולינומי לגר. יחידות ומשפט לרץ‘. שימושים למשוואות דיפרנציאליות רגילות.
  3. מיון של משוואות דיפרנציאליון חלקיות מסדר שני: משוואות אליפטיות, היפרבוליות ופרבוליות. משוואות לפלס, הגלים והחום.
  4. משוואות אליפטיות: משוואות לפלס ופואסון. בעיות שפה של דיריכלה ונוימן. גרעין פואסון. תכונות של פונקציות הרמוניות, עקרון המקסימום.
  5. שיטות אנליטיות לפתרון משוואות דיפרנציאליות חלקיות: בעיית שטורם-ליוביל ושיטת הפרדת המשתנים בתחום חסום. שימושים למשוואות לפלס, הגלים והחום, לרבות בעיות לא הומוגניות. שימושים של טרנספורם פורייה ולפלס לפתרון בעיות בתחומים לא חסומים.

ביבליוגרפיה

1. Stein E. and Shakarchi R., Fourier analysis, Princeton University Press, 2003. 2. Korner T.W., Fourier analysis, Cambridge University Press, 1988. 3. Katznelson Y., An Introduction to Harmonic Analysis, Dover publications. 4. John, Partial differential equations, Reprint of the fourth edition. Applied Mathematical Sciences, 1. Springer-Verlag, New York, 1991. 5. Evans Lawrence C. Partial Differential Equations, Second Edition. 6. Gilbarg D.; Trudinger N. S. Elliptic partial differential equations of second order, Reprint of the 1998 edition. Classics in Mathematics. Springer-Ver lag, Berlin, 2001. 7. Zauderer E. Partial differential equations of applied mathematics, Second edition. Pure and Applied Mathematics (New York). A Wiley-Interscience Publication. John Wiley & Sons, Inc., New York, 1989. xvi+891 pp. ISBN: 0-471-61298-7.

רשימת הנושאים:

  1. קטגוריות ופונקטורים: טרנספורמציות טבעיות, שקילות, פונקטורים צמודים, פונקטורים אדיטיביים, דיוק.
  2. פונקטורים נגזרים: מודולים פרוייקטיביים, אינג?קטיביים ושטוחים;. רזולוציות, הפונקטורים $Ext$ ו-$Tor$; דוגמאות ושימושים.
  3. קוהומולוגיה לא אבלית ושימושיה.
  • תת-חבורות, חבורות מנה, קשר בין תת-חבורות של חבורה ושל חבורה מנה
  • תת-חבורות של SYLOW, משפטי SYLOW
  • חבורות פתירות ונילפוטנטיות, חבורות-$p$
  • חבורות חופשיות ותכונותיהן
  • אוטומורפיזמים ואיזומורפיזמים של חבורות, חבורות אוטומורפיזמים.
  • אגדים וקטורים וחבורת K של מרחב טופולוגי.
  • משפט המחזוריות של Bott ושימושים לאלגבראות.
  • אינדקס של אופרטור פרדהולם ותורת K .
  • במידה ויספיק זמן נדון גם בנושאים הבאים (חלקם במסגרת הרצאות התלמידים): יריעות חלקות וקוהומולוגית דה-ראהם, מחלקות בקוהומולוגיה המשויכות לאגדים וקטורים ואיזומורפיזם chern ובפרט מחלקת אוילר. אופרטורים אליפטיים, ניסוח משפט Atiyah-Singer והקשר שלו למשפט גאוס-בונה ומשפטי אינדקס אחרים.

בתהליכים הסתברותיים מעצם הגדרתם לא ניתן לחזות את הצעד הבא של התהליך. בכל זאת, ניתן באופן מדויק לחזות את ההתנהגות ארוכת הטווח של תהליכים מסוג מסוים. בקורס הזה נחקור תהליכים מסוג מסוים, הנקראים תהליכי מרקוב, בהם הצעד הבא של התהליך תלוי רק המיקום הנוכחי שלו. התהליכים הללו קשורים באופן עמוק לרשתות חשמליות, ולמושגים מתורת האינפורמציה כגון אנטרופיה. אנחנו נחקור את התהליכים הללו בשימוש בכלים אנליטיים, ונגדיר מושגים ונוכיח משפטים שהם אנלוגיים למשפטים באנליזה קלסית, רק למקרה הבדיד. מדובר במושגים וגישות הנמצאים בחזית המחקר העכשווי.

  • משפטים בסיסיים והגדרות: קבוצות קמורות, למת ההפרדה, משפט הלי, משפט רדון, משפט קרתאודורי, נקודת מרכז, משפט טברברג, גרפים מישוריים, משפט קבה,
  • גרפים גאומטריים: למת החיתוכים. שימושים לבעיות ארדס: בעיות חילה בין נקודות ועקומים, בעיית המרחקים הזהים, בעיית ספירת מרחקים שונים, למת בחירה של נק בתוך עיגולים. נק בתוך סימפלקסים. ספירת חציות של קבוצת נקודות ע“י על-מישורים. שימוש בחילות לבעיות בתורת המספרים האדיטיבית.
  • בעיות צביעה וטרנסברסלים להיפר גרפים גאומטריים: מימד וי סי, רשתות אפסילון ורשתות אפסילון חלשות לקבוצות קמורות. צביעות חסרות קונפליקטים.
  • מערכים: סדרות דבנפורט שינצל ושימושיהן לתתי מבנים במערכים.
  • תורת רמזי גאומטרית: משפט ארדס סקרס לקבוצות קמורות. שימושים של משפט דילוורס, גרפים קווזי מישוריים.

הקורס יעסוק במספר מושגים בסיסיים בתורת המודלים:

  • חילוץ כמתים
  • שימושים באלגברה לרבות שדות סגורים אלגברית ושדות סגורים ממשית
  • טיפוסים ומודלים רוויים

בהינתן זמן מספיק ניגע בנושאים הבאים: - השערת Vaught והניתוח של Morley של מודלים בני מניה - תורות $\omega$-יציבות ודרגת מורלי - גבולות Fraisse

דרישות קדם

סטודנטים צריכים להכיר ולהרגיש בנוח עם המושגים הבאים: שפות, מבנים, נוסחאות, תורות, משפט השלמות של גדל ומשפט הקומפקטיות.

המספרים הממשיים (מערכת האקסיומות). סופרימום ואינפימום של קבוצה. קיום שורשים של מספרים חיוביים. 1. סדרות מתכנסות. תת-סדרות. סדרות קושי. משפט בולצנו-ויירשטראס. גבולות עליונים ותחתונים. 2. טורים. סכומים חלקיים. טורים מתכנסים ומתבדרים. תנאי קושי. טורים של מספרים אי-שליליים. מבחני השורש והמנה. טורים כלליים. מבחני דיריכלה, לייבניץ ואבל. שינוי סדר הסכימה. משפט רימן. 3. גבול של פונקציה. פונקציות רציפות. רציפות של פונקציות אלמנטאריות. תכונות של פונקציות רציפות בקטע סגור. פונקציות רציפות במידה שווה. משפט קנטור. 4. הנגזרת של פונקציה. משפט הערך הממוצע. נגזרות מסדר גבוה. כלל לופיטל. משפט טיילור.

  1. אינטגרל רימן: סכומי רימן, המשפט היסודי של החשבון הדיפרנציאלי. שיטות לחישוב אינטגרלים (אינטגרציה בחלקים, חילוף משתנה, שברים חלקיים). אינטרגלים לא אמיתיים ושימוש לטורים. אינטגרציה נומרית. נוסחת סטירלינג ושימושים נוספים אם יתיר הזמן.
  2. התכנסות במידה שווה והתכנסות נקודתית. תנאי קושי ובוחן ויירשטראס. טורי חזקות. טורי טיילור. פונקציות אנליטיות-ממשיות ופונקציות חלקות. קונבולוציות, קירובי יחידה ומשפט הקירוב של ויירשטראס. שימושים נוספים ככל שיתיר הזמן.
  3. חזרה על וקטורים ב-R^n והעתקות לינאריות, הנורמה האוקלידית ואי-שוויון קושי שוורץ. מושגים טופולוגיים בסיסיים ב-R^n. העתקות רציפות בכמה משתנים. מסילות במרחב, אורך מסילה. נגזרות חלקיות וכווניות, דיפרנציאביליות ופונקציות C^1. כלל השרשרת. הגרדיינט. פונקציות סתומות וכופלי לגרנז‘. בעיות אקטרמום בתחום חסום.
  1. מרחבי מכפלה פנימית ומרחבים נורמיים. משפט על קיום היטל לתת- מרחב בעל מימד סופי. מערכות אורתונורמליות ואורתוגונליות במרחבים ממימד אינסופי. אי שיויון בסל ושיויון פרסבל, מערכות אורתונורמליות סגורות. מערכת האר.
  2. טור פורייה (הצורה הממשית והצורה המרוכבת).קירובי יחידה, שלמות של המערכת הטריגונומטרית\האקספוננציאלית. התכנסות במידה שווה של טורי פורייה של פונקציות גזירות ברציפות למקוטעין בקטעים סגורים של רציפות. תופעת גיבס. גזירה ואינטגרציה איבר-איבר.
  3. התמרת פורייה. משפט הקונבולוציה. שיויון פלנשרל. שימושים לפונקציות חסומות בתדר ומשפט הדגימה של שנון.
  4. התמרת לפלס. נוסחאות בסיסיות והקשר להתמרת פורייה. טבלת התמרות לפלס. קונבולוציות. שימושים של התמרת לפלס לפתרון של משוואות דיפרנציאליות רגילות.
  5. מבוא לפילוגים (דיסטריבוציות). גזירה של פילוג, דלתא של דיראק ונגזרותיה. טורי פורייה, התמרת פורייה והתמרת לפלס של פילוגים.

. מספרים מרוכבים: המישור המרוכב, הצגה קוטבית, משוואה של קו. תחום פשוט-קשר ורב-קשר. תכונות בסיסיות של פונקציות אנליטיות, משואות קושי-רומן. פונקציות בסיסיות. העתקות קונפורמיות. פונקציות מביוס. פונקציות הרמוניות. 2. הגדרה ותכונות של אינטגרל קוי, אינטגרל של פונקציה אנליטית. המשפט האינטגרלי של קושי. נוסחת קושי. 3. משפט ליוביל. המשפט היסודי של האלגברה. עקרון המינימום והמקסימום עבור פונקציות אנליטיות והרמוניות. 4. טור טיילור במישור המרוכב. רדיוס ועיגול התכנסות. אפסים של פונקציה אנליטית. 5. טור לורן סיווג נקודות סינגולריות מבודדות. 6. שארית ומשפט השארית. שימוש עבור חישובי אינטגרלים. משפט הארגומנט. משפט רושה.

  1. משוואות לינאריות מסדר שני בשני משתנים: מיון במקרה של מקדמים קבועים ומשתנים, קווים אופייניים, צורות קאנוניות.
  2. תורת שטורם-ליוביל.
  3. משוואת הגלים. תנאי התחלה ותנאי שפה (קצוות קבועים וחופשיים). שיטת ד‘אלמבר למיתר אינסופי. קווים אופייניים. בעיות גלים למיתר חצי-אינסופי וסופי. פתרון בעייה של מיתר באורך סופי עם תנאי שפה לקצוות קבועים וחופשיים בשיטת הפרדת המשתנים. הוכחת יחידות בשיטת האנרגיה. מוצגות היטב של משוואת הגלים
  4. משוואות לפלס ופואסון. עקרון המקסימום. מוצגות הטיב של בעיית דיריכלה. משוואת לפלס במלבן. משוואות לפלס במעגל ונוסחת פואסון. בעיה שאיננה מוצגת היטב: בעיית קושי. יחידות של הפתרון של בעיית דיריכלה. נוסחת גרין במישור ושימוש לבעיות נוימן.
  5. משוואת החום. שיטת הפרדת המשתנים לבעית החום החד-מימדית. עקרון המקסימום. יחידות עבור בעיית החום החד-מימדית. בעיית קושי למשוואת החום. פונקציית גרין במימד אחד. אם יתיר הזמן: פונקציית גרין בשני משתנים.
  6. משוואת החום הלא הומוגנית, משוואת פואסון במעגל ומשוואת הגלים הלא הומוגנית.
  7. אם יתיר הזמן: ויברציות חופשיות בממברנות מעגליות. משוואות בסל.
סילבוס:
  1. קבוצות: שייכות, איחוד, חיתוך, הפרש.

  2. מכפלה קרטזית, מושג היחס, יחסי שקילות, יחס סדר חלקי, יחס סדר קווי. הגדרת פונקציה כקבוצת סדורים.

  3. תחשיב הפסוקים: ו/או גרירה, שקילות וטבלאות האמת שלהם, ערך האמת של פסוקים בהשמה, שקילות לוגית וגרירה לוגית, טאוטולוגיות ופסוקים שקריים, הטאוטולוגיות החשובות: למשל, חוקי הפילוג, ונוסחאות דה-מורגן.

  4. תחשיב הפרדיקטים: הגדרת שפת תחשיב הפרדיקטים ומשמעותה; הגדרת מבנים; נוסחאות ופסוקים; הסתפקות במבנה ובהשמה, אמיתיות לוגית, גרירה לוגית, שקילות לוגית; השקילויות החשובות, סדר הכמתים, הכנסת השלילה פנימה.

  5. תורת הקבוצות: התאמות חד-חד-ערכיות, הרכבת פונקציות והפונקציה ההפוכה; יחסי שקילות; הגדרת העוצמה, שיוויון עוצמות ואי-שיוויון עוצמות; משפט קנטור ברנשטיין (ללא הוכחה), המשפט שכל שתי עוצמות נתנות להשוואה (ללא הוכחה); משפט קנטור על עוצמת קבוצות החזקה $|\mathbb{R}|=|\mathcal{P}(\mathbb{N})|$, $|\mathbb{Q}|=|\mathbb{N}\times\mathbb{N}|=|\mathbb{N}|$.

מטרת הקורס להקנות לסטודנטים מיומנות בפתרון יצירתי של בעיות ממגוון תחומים במתמטיקה באופן המדמה במידת מה מחקר מתמטי (ובשונה מקורסים רגילים, בהם עבודות הבית קשורות ישירות לחומר הנלמד בשיעור). הקורס יתמקד בבעיות בהן נדרשים כלים ממספר תחומים מתמטיים להבנת הבעיה ולפתרונה, ויחשוף בפני הסטודנטים טפח מאופיה של המתמטיקה כתחום ידע שלם שבו - בין תת-תחומים שונים לכאורה ? מתגלים קשרים לא צפויים ועמוקים המטילים אור חדש על הבנתנו תחומים אלו. הבעיות יתמקדו בתכנים במתמטיקה קלסית ומודרנית, אשר ? בין היתר בשל אופים הבין תחומי ? אינם מכוסים בד“כ בקורסי הליבה שמציעה המחלקה ,לדוגמה: אקסיומת הבחירה ושימושיה הפרדוקס של בנך-טרסקי, מספרים טרנסצנדנטים וכו. השיעורים יתחלקו בין הרצאות רקע של המרצה (בהתאם לנושאים הנלמדים, ולרקע הנדרש מן הסטודנטים) לבין הצגת הסטודנטים את פתרונותיהם לבעיות שניתנו להם בשיעורים הקודמים. בנוסף לאמור לעיל, יסייע הקורס לסטודנטים בשיפור מיומנויותיהם בחיפוש בספרות המתמטית וכן בכתיבה ובהצגה של הוכחות מתמטית.

מספרים ממשיים (ללא חתכי דדקינד). סופרמום כאקסיומה. סדרות מתכנסות, תתי סדרות, סדרה מונוטונית וחסומה, גבולות עליונים ותחתונים. טורים: סכומים חלקיים, מתכנסים ומתבדרים, דוגמאות, טורים אי שלילייים, מבחני שורש, מנה, טורים כלליים, דיריכלה, לייבנייץ (סימנים מתחלפים), התכנסות בהחלט גוררת התכנסות (ללא הוכחה). גבול של פונקציה, רציפות, רציפות הפונקציות האלמנטריות, אקסטרמום בקטע סגור. הנגזרת של פונקציה, משפט הערך הממוצע של לגרנג‘, נגזרות מספר גבוה, לופיטל, משפט טיילור, הערכות שגיאה, הרבה דוגמאות. אינטגרל רימן: רק עם פונקציות רציפות למקוטעין (מספר נקודות אי-רציפות סופי). סכומי רימן והגדרת האינטגרל, המשפט היסודי של החשבון הדיפרנציאלי והאינטגרלי, וקיום פונקציות קדומות. שיטות אינטגרציה: אינטגרציה בחלקים, חילוף משתנים, שברים חלקיים (ללא הוכחה מלאה), אינטגרלים לא אמיתיים, שימושים של אינטגרציה, הערכה של טורים באמצעות אינטגרלים מושג ה- O, ה-o ו- ? (למשל: ??“dx“ /“x“ ” עם ידי השוואה ע“ ל ?”k=1“ ^“N“ ?“1“ /“k“ ” =?“ (”logN“ )). חישובים מקורבים למומנטים ?”n=1“ ^“N“ ?“n“ ^“?“ , נוסחת Stirling.

  1. חשבון אינטגרלי ושימושיו: האינטגרל המסוים וסכומי רימן, אינטגרביליות של פונקציות חסומות בעלות מספר בן מנייה של נקודות אי-רציפות (ההוכחה רק עבור פונקציות רציפות ופונקציות מונוטוניות), פונקציות קדומות והמשפט היסודי של חדו“א. שיטות אינטגרציה: אינטגרציה בחלקים, החלפת משתנה, שברים חלקיים (ללא הוכחה). שימושים של האינטגרל לחישובי שטח, נפח גוף סיבוב ואורך המסילה. אינטגרל לא אמיתי ומבחני התכנסות עבור פונקציות חיוביות. שימוש להתכנסות של טורים.
  2. פונקציות מרובות משתנים: קבוצות פתוחות, קבוצות סגורות וקבוצות קומפקטיות. פונקציות מרובות משתנים, גרף של פונקציה, קווי ומשטחי רמה, העתקות, מסילות, קשירות מסילתית.
  3. גבולות ורציפות: הגדרות, האריתמטיקה של גבולות, משפטי ווירשטראס, משפט ערך הביניים.
  4. חשבון דיפרנציאלי במספר משתנים: נגזרות חלקיות וכיווניות, דיפרנציאביליות והמישור המשיק, כלל השרשרת, האורתוגונליות של הגרדיאנט לקווי ומשטחי רמה, פונקציות סתומות, משפט הפונקציה הסתומה עבור עקום במישור ומשטח במרחב (ללא הוכחה), ההסיאן, קירוב טיילור מסדר שני, נקודות קריטיות ומיונן (המיון רק במימד 2). בעיות קיצון: כופלי לגרנז‘, מורד הגרדיאנט.
  5. חשבון אינטגרלי במימד 2: האינטגרל המסוים במימד 2, אינטגרל חוזר והחלפת סדר האינטגרציה, החלפת משתנים (ללא הוכחה), קואורדינטות קוטביות, שימוש באינטגרל לחישובי נפחים. ככל שיאפשר הזמן: אינטגרל במימד 3.
  1. פעולות על קבוצות, סימון לוגי, יחסים.

  2. מניה בסדר של אובייקטים קומבינטוריים: מספרים שלמים, פונקציות, עיקרונות ראשונים של פירוט.

  3. קומבינטוריקה אלמנטרית: קבוצות, רב-קבוצות וסידוריהן; מקדמים בינומיאליים ומולטינומיאליים.

  4. עקרון ההכלה ודחייה, פונקצית אוילר.

  5. גרפים: הצגת גרפים ואיזומורפיזם.

  6. רקורסיה ופונקציות יוצרות: הגדרות רקורסיביות, פונקציות יוצרות רגילות ואקספוננציאליות, רקורסיה לינארית עם מקדמים קבועים.

  7. אריתמטיקה מודולרית: קונגרואנטיות של מספרים שלמים, $\mathbb{Z}_m$, האיברים ההפיכים ב-$\mathbb{Z}_m$.

  8. מבנים אלגבריים: אקסיומות ודוגמאות של חבורות, חבורות ותתי חבורות ציקליות, מחלקות ומשפט לגרנז‘. חוגים ושדות סופיים.

שדות ומטריצות, מרחבים וקטוריים מעל שדה, משוואות ליניאריות מעל שדה, דטרמיננטות, מרחבים דואליים, טרנספורמציות ליניאריות.

  • חוגים. חוג הפולינומים ואידאלים שלו. פריקות יחידה בחוג הפולינומים. אינטרפולציה של לגרנג‘.
  • ערכים עצמיים ווקטורים עצמיים של אופרטור לינארי. פולינום אופייני ומשפט קיילי–המילטון. משפט הפרוק הפרימרי. לכסון. אופרטורים נילפוטנטיים. פרוק ז‘ורדן במימדים קטנים. פרוק ז‘ורדן בממד כללי, ככל שיאפשר הזמן.
  • תבניות לינאריות. בסיס דואלי. תבניות בילינאריות. מרחבי מכפלה פנימית. בסיס אורתונורמלי. הטלה. העתקה לינארית צמודה. אופרטור צמוד לעצמו ואופרטור אוניטרי. משפט הפרוק הספקטרלי עבור אופרטור נורמלי. פירוק לערכים סינגולריים ושימושיו.

נושאי רשות:

  • תבניות ריבועיות.
  • משפט סילווסטר.
  • מיון עקומים ריבועיים.

תורת ההסתברות: משתנים בודדים ורציפים, תלויים ובלתי תלויים, שש התפלגויות בודדות בסיסיות: ברנולי, בינומית, אחידה, גיאומטרית, בינומית שלילית, פואסונית. ממוצע, שונות, מומנטים, פונקציה יוצרת הסתברות.חמש התפלגויות רציפות בסיסיות: אחידה, נורמלית, אקספוננציאלית, גמה, ביתא. פונקציה יוצרת מומנטים. מאורעות, הסתברות מותנת, הִזְדַּקְּנוּת של מולקולות, אנטרופיה. יצירת הסתברויות שונות. הרבה משתנים מקריים. ספרית EST. שונות מאורבת וקורלציות, מינימום ומקסימום של הרבה משתנים מקריים.סטטיסטיקה תיאורית, דגימה מקרית. גישה קלאסית נגד באיזיאנית. התפלגות של ממוצע המדגם ושונותו, שיטות לקבלת אומדים נקודתיים, אומרן הממוצע, אומדן השונות, חסר הטיה ובעל הטיה, MSE, רווחים בני סמך עבור פרמטרים של ההתפלגות, רעיונות בסיסיים והגדרות עבור בדיקת השערות סטטיסטיות, טעויות מסוג I ו-II, ערכי - P. בחנים בקשר לממוצעים, לשונויות ולפרופורציות, מבחני התאמת עקום, מקדם המתאם ומבחנים ביחס אליו, רגרסיה ליניארית . אינפורמציה, ערך מקסימלי כי-סטטיסטי. בלי פרמטרים: Mann-Whitney ותמורה.גישה באיזיאנית לבדיקת השערות ולאמידה.ANOVA - חד-כיווני ודו-כיווני.עוד על הגישה הקלאסית: אספקטים של אופטימליות.BLAST.

חזרה על הסתברות: מושגים בסיסיים. משתנים מקריים, התמרה של משתנים מקריים, אי-תלות. תוחלת, שונות, מתאם, תוחלת מותנית. אי-שוויונות: הערכת הממוצע. אי-שוויון Hoeffding. התכנסות של משתנים מקריים: סוגי התכנסות. חוק המספרים הגדולים. משפט הגבול המרכזי. הסקה סטטיסטית: מבוא. מודלים פרמטריים ומודלים אי-פרמטריים. אמידה נקודתית, רווח בר-סמך, בדיקת השערות. אמידה נקודתית פרמטרית: שיטות למציאת אומדים: שיטת המומנטים; נראות מקסימלית; שיטות אחרות. תכונות של אומדים נקודתיים: הטיה; פונקצית הפסד ? תוחלת רבוע הטעות; עקביות. תכונות של אומד נראות מקסימלית. דוגמאות לחישוב אומד נראות מקסימלית. אמידה ברווח: מבוא. משתנה הציר. דגימה מהתפלגות נורמלית: רווח בר-סמך עבור תוחלת ושונות. רווח בר-סמך עבור מדגמים גדולים. עקרונות בדיקת השערות: מודלים פרמטריים לעומת אי-פרמטריים. מבוא והגדרות עיקריות. דגימה מהתפלגות נורמלית. p-values. התפלגות ?^2 ומבחני ?^2. מבחני טיב התאמה. מבחני אי-תלות. פונקצית התפלגות אמפירית. מבחן קולמוגורוב-סמירנוב. רגרסיה: רגרסיה לינארית. שיטת הרבועים הפחותים ונראות מקסימלית. תכונות של אומדים. חזוי. טפול ב‘רעש‘; תוצאות חריגות.

  1. מושג הגבול, גבול של פונקציה.2. רציפות, רציפות חד-צדדית. 3. הנגזרת וכללי הגזירה היסודיים, נגזרות הפונקציות הטריגונומטריות. 4. גזירת פונקציות הפוכות ופונקציות סתומות. 5. מקסימום ומינימום. הערך הגדול ביותר של פונקציה רציפה בקטע. 6. משפט הערך הממוצע וחקירת הפונקציה. 7. נגזרת שנייה ושימושיה. קמירות וקעירות, שירטוט גרפים. 8. חישוב גבולות לביטויים לא מוגדרים. משפט לופיטל. 9. הדיפרנציאל וקרוב מסדר ראשון. משפט טיילור וקרובים מסדר גבוה. 10. אינטגרציה: הגדרה. כל פונקציה רציפה היא נגזרת. 11. שיטות אינטגרציה. הצבה, חלקים. 12. משוואה דיפרנציאלית ותנאי התחלה, פתרון על ידי הפרדת המשתנים. 13. האינטגרל המסויים. שטחים, האינטגרל כפונקציה של הגבול העליון. 14. אינטגרציית פונקציות רציונליות על-ידי שברים חלקיים. 15. אינטגרציה על-ידי הצבות טריגונומטריות. 16. אינטגרלים לא-אמיתיים. 17. נפח גוף סיבוב. 18. אורך עקומה. 19. קואורדינטות קטביות. 20. גרפים בקואורדינטות קטביות. 21. אורך עקומה ושטח בקואורדינטות קטביות.
  1. וקטורים במישור ובמרחב. מכפלה סקלרית ומכפלה ווקטורית. ישרים, מישורים ושטחים במרחב.
  2. פונקציות ווקטורית. מהירות, תאוצה, וקטור משיק, אורך עקומה, עקמומיות.
  3. פונקציות של מספר משתנים. נגזרות חלקיות, דיפרנציאביליות ודיפרנציאל, כלל השרשרת, נגזרת מכוונת, גרדינט, מישור משיק, פולינום טיילור, מקסימום ומינימום.
  4. אינטגרל מרובה. אינטגרל כפול ומשולש, שטח פנים.
  5. שדות ווקטורים. אינטגרל קווי ואינטגרל משטחי. משפט גרין, משפט הדיברגנס ומשפט סטוקס.
  6. טורי מספרים. מבחני התכנסות לטורים חיובים, התכנסות בהחלט, התכנסות טורים עם סימנים מתחלפים.
  7. טורי חזקות. רדיוס התכנסות, התכנסות בקצוות, גזירה ואינטגרציה של טורי חזקות.

פונקציות אלמנטריות בסיסיות. פונקציות חד-חד ערכיות, הפוכות, מונוטוניות, זוגיות ואי זוגיות. פונקציה מורכבת. גבול של פונקציה. המספר e. גבולות חד-צדדיים. רציפות של פונקציה. תכונות של פונקציה רציפה. 2. מושג הנגזרת. כללי גזירה. נגזרת מסדר גבוה. נגזרת של פונקציה מורכבת. כלל לופיטל. חישוב גבולות. דיפרנציאל. 3. חקירת פונקציה. תחומי עליה וירידה, קמירות וקעירות. נקודות פיתול. מקסימום ומינימום מקומיים. אסימפטוטות. חקירה מלאה של פונקציה. גמישות. שימושים בכלכלה.4. פונקציה קדומה ואינטגרל לא מסויים. כללי אינטגרציה. אינטגרלים מידיים. האינטגרל המסוים. חישוב שטחים. שימושי האינטגרל בכלכלה. אינטגרלים לא אמיתיים. 5. מושג הפונקציה של כמה משתנים. עקומות שוות ערך. נגזרות חלקיות מסדר שני. דיפרנציאל שלם. כלל השרשרת. פונקציות סתומות ונגזרתן. פונקציות הומוגניות ותכונותיהן. 6. אקסטרמום של פונקציה של שני משתנים. מקסימום ומינימים מקומי. תנאי הכרחי לקיום אקסטרמום מקומי. תנאי מספיק. אקסטרמום בתנאי. שיטת כופלי לגרנז‘. 7. מטריצות. מושגים יסודיים על מטריצות. פעולות אלמנטריות במטריצות. מטריצה הפוכה. פתרון מערכת של משוואות ליניאריות בעזרת מטריצה הפוכה.

  1. מבוא: שדות המספרים הממשיים והמרוכבים, פולינומים.
  2. מערכת משואות ליניאריות ופתרונן בשיטת האלימינציה של גאוס.
  3. מרחבים וקטוריים: דוגמאות (מרחב אוקלידי דו- ממדי ותלת- ממדי, מרחבי פונקציות, מרחבי מטריצות),מושגים בסיסיים, בסיס ומימד של מרחב וקטורי. ישום מרחבים וקטוריים בפתרונות של מערכות משואות ליניאריות.
  4. מטריצה הופכית, דטרמיננטה, מכפלה סקלרית.
  5. טרנספורמציות ליניאריות: גרעין ותמונה, מטריצה של טרנספורמציה, החלפת בסיס.
  6. ערכים עצמיים, מציאת וקטורים עצמיים ולכסון מטריצות.
  1. מערכת המספרים הממשיים, אי שיויונים במספרים ממשיים, מערכת המספרים המרוכבים, ההצגות הקרטזית, הפולרית והמעריכית, משפט ד‘מואבר, חישוב שורשים.
  2. מערכות משוואות לינאריות מעל המספרים הממשיים או המרוכבים, קבוצת הפתרון והצגתה הפרמטרית, מטריצות מדורגות, ומטריצות מדורגות מצומצמות, הצבה לאחור והצבה לפנים וסיבוכיות התהליכים, אלגוריתם הדירוג של גאוס וסיבוכיותו, אלגוריתם הצימצום וסיבוכיותו
  3. המרחב הוקטורי, תת-מרחבים וקטוריים, צירופים לינאריים, המרחב הנפרש ע“י קבוצת וקטורים, תלות ואי-תלות לינאריים, המימד של מרחב וקטורי, מרחבי שורה ומרחבי עמודה של מטריצות, הדרגה של מטריצה.
  4. העתקות לינאריות בין מרחבים וקטוריים, העתקות הפיכות ואיזומורפיזמים, הצגה מטריצית של העתקות לינאריות סוף מימדיות, היפוך מטריצות ריבועיות, הרכבת העתקות, כפל מטריצות, האלגברה של מטריצות, הגרעין והתמונה של העתקה לינארית וחישוב בסיסים עבורם, מעבר בין בסיסים, משפט המימד עבור העתקות לינאריות המשלים האורתוגונלי ,Cauchy-Schwarz 5. מרחבי מכפלה פנימית, נורמה, קבוצות אורתונורמליות, אי שיויון טרנספורמציות אורתוגונליות ומטריצות ,Gram-Schmidt של תת-מרחב, סדרות אותוגונליות, האלגוריתם של אורתוגונליות. , Laplace המטריצה הנילוית ונוסחת , Laplace 6. הדטרמיננט של מטריצה ריבועית, מינורים וקופקטורים, פיתוחי טרנספורמציות דימיון ואינוריאנטות שלהן ( הדטרמיננט והעכבה). ,P ע“י מטריצה הפיכה A הצמדה של מטריצה
  5. ערכים עצמיים, וקטורים עצמיים ומרחבים עצמיים, ליכסון ודימיון, הפולינום האופייני, הריבוי האלגברי והריבוי הגיאומטרי של ערך עצמי, משפט הספקטרלי עבור מטריצות הרמיטיות. Syllabus
  1. משוואות ליניאריות מסדר ראשון עם מקדמים קבועים. אופנים, התפשטות של אי-רציפות בפתרון, אינטגרלים ראשונים.
  2. משוואת גלים חד ממדית. תנודות של מיתר אלאסטי, התפשטות גלים, פתרון דלמבר ( d‘Alembert )לבעיית קושי , ניסוח בעיית שפה- התחלה, שיטת הפרדת משתנים.
  3. טורי פורייה, פיתוח פונקציות לטורי פורייה ( Fourier ) , פונקציות זוגיות ואי-זוגיות, משפט התכנסות.
  4. משוואת חום. בעיות הומוגניות ואי-הומוגניות. עיקרון דוהאמל. שיטת הפרדת משתנים. אסימפטוטיקות עבור זמן ארוך.
  5. משוואת לפלס. ניסוחי בעיות שפה. פתרונות בעיות פנימיות וחיצוניות על ידי הפרדת משתנים.

משוואות דיפרנציאליות רגילות מושגי יסוד: משוואות מסדר ראשון, פתרון כללי, בעיות תנאי התחלה, פתרון פרטי. משוואות לינאריות, עם משתנים נפרדים, מדויקות, הומוגניות. גורם אינטגרציה. משפט הקיום ויחידות (ללא הוכחה). מערכת משוואות לינאריות מסדר ראשון. פתרון בעזרת חשבון מטריצות. משוואות לינאריות מסדר שני. משוואות לא הומוגניות, וורונסקיאן. משוואת אוילר. משוואות ליניאריות מסדר n. התמרות אינטגרליותהתמרת לפלס, תכונות התמרת לפלס. קונבולוציה ומשפט הקונבולוציה. פונקצית הביסייד (מדרגה), פונקציות רציפות למקוטעין, פונקצית דלטה של דירק. פתרון משוואות ליניאריות לא הומוגניות באמצעות התמרת לפלס.התמרת פוריה, תכונות התמרת פוריה. קוסינוס וסינוס התמרת פוריה. קונבולוציה ומשפט הקונבולוציה. פתרון משוואות אינטגרליות באמצעות התמרת פוריה.

. מבוא: מושגים יסוד מתורת הפונקציות:שדות מספריים (רציונליים, ממשיים).שדה המספרים המרוכבים), הצגה אלגברית, הצגה קוטבית (טריגונומטרית), נוסחת אוילר, מציגות שרשרם הגדרת שדה. שדות סופיים Zp.2. מערכת משוואות ליניאריות מעל השדות הנ“ל:הגדרת מושגים בסיסיים. מערכות שקולות, פעולות יסודיות, פתרון על ידי שיטת האלימינציה של גאוס, מערכת משוואות ליניאריות ומטריצות, הצגה מטריצאלית של מערכת ופתרון של מערכת בעזרת ההצגה. דרגת מטריצה, דרגות חופש. צורה קנונית, מערכות הומוגניות. פתרון כללי למערכות לא הומוגניות בעזרת פתרון כללי להומוגנית המתאימה.3. מרחבים ווקטוריים מעל שדה:הגדרה ודוגמאות (מרחב שורות, מרחב מטריצות, מרחב פולינומים, מרחב פונקציות). תת-מרחבים. דוגמאות, קריטריון של תת-מרחב. חיתוך וחיבור תת מרחבים. קומבינציה ליניארית של וקטורים. פרישה ליניארית. תלות ואי תלות ליניארית. בסיס וממד. משפט המימד עבור סכום תתי-מרחבים. מרחב השורה ומרחב העמודה של מטריצה, דרגה של מטריצה, משוואות ליניאריות ומרחבים וקטוריים, קואורדינטות.4. מטריצות:כפל מטריצות, מטריצות ריבועיות, חזקות ופולינומים של מטריצות, אלכסון ועקבה, סוגים של מטריצות, מטריצות הפיכות, חישוב של מטריצה הופכית, שינוי בסיס.5. דטרמיננטות:מקרים פרטיים (n=2,3), הגדרה רקורסיבית, פיתוח לפי שורה ועמודה, תכונות (תשובות dif=0, כפליות,מולטילינאריות), חישוב דטרמיננטות שרירותיות, יישומים: כלל קרמר, מטריצה צמודה וחישוב של מטריצה הופכית.6. פולינומים מעל שדה: התחלקות, פירוק לגורמים ((adjoint, מחלק משותף גדול ביותר.7. טרנספורמציות ליניאריות:הגדרות, דוגמאות (כולל הגדרת אופרטור ליניארי, איזומורפיזם), גרעין ותמונה של טרנספורמציות ליניאריות, משפט המימד, הצגה מטריציונית, החלפת בסיס ודמיון מטריצות.8. ערכים עצמיים ווקטורים עצמיים:לכסון של אופרטורים ליניאריים. הפולינום האופייני, חישוב ערכים עצמיים ווקטורים עצמיים של מטריצה, לכסון מטריצות. 9. מרחבי מכפלה פנימית:הגדרות, אי שוויון קושי שוורץ, אי שוויון בסל, בסיסים אורטוגונליים ואורטונורמליים, תהליך האורטוגונליזציה של גראם שמידט.

אלגברה של וקטורים. הנדסה אנליטית במרחב. משטחים. פונקציה וקטורית של משתנה סקלרי (גבול, רציפות, נגזרת, משיק לגרף). מהירות ותאוצה.פונקציה במספר משתנים. נגזרות חלקיות. המישור המשיק לגרף הפונקציה. גרדיאנט ונגזרת מכוונת . כלל השרשרת לנגזרות חלקיות . הדיפרנציאל השלם וקירוב ליניארי. נגזרות חלקיות מסדר גבוה. מקסימום ומינימום של הפונקציה במספר משתנים.האינטגרל הכפול .האינטגרל המשולש. האינטגרלים הקווים מסוג ראשון ושני.עקום ונורמל של עקומה מישורית, הצגה במערכת קוטבית. האינטגרלים המשטחים מסוג ראשון ושני, שטח פנים. משפט גרין, משפט גאוס ומשפט סטוקס.שדה וקטורי משמר , פונקציה פוטנציאלית .הטורים מספריים . טורי פונקציות - חזקות , רדיוס התכנסות , גזירה ואינטגרציה של טורי חזקות .

. מושגי יסוד: משוואות מסדר ראשון, פתרון כללי, בעיות תנאי התחלה, פתרון פרטי. משוואות לינאריות, עם משתנים נפרדים, מדויקות, הומוגניות. גורם אינטגרציה. משפט הקיום ויחידות (ללא הוכחה). משוואת ריקטי, ברנולי. מערכת משוואות לינאריות מסדר ראשון. פתרון בעזרת חשבון מטריצות. משוואות לינאריות מסדר שני. משוואות לא הומוגניות, וורונסקיאן. משוואת אוילר. משוואות ליניאריות מסדר n. 2. התמרת לפלס, תכונות התמרת לפלס, פתרון משוואות ליניאריות לא הומוגניות באמצעות התמרת לפלס, פונקצית הביסייד (מדרגה), פונקציות רציפות למקוטעין, פונקצית דלטה.3. התמרת פוריה, תכונות התמרת פוריה. קוסינוס וסינוס התמרת פוריה. פתרון משוואות אינטגרליות באמצעות התמרת פוריה.

. יסודות של אלגברה וקטורית ושל גיאומטריה אנליטית.2. פונקציות רבות משתנים. תחום הגדרה. קווי רמה. משטחי רמה. גרפים של פונקציות של שני משתנים. 3. נגזרות חלקיות מסדר ראשון. תיאור גיאומטרי. טכניקת חישוב נגזרות חלקיות. כלל השרשרת. דיפרנציאל. 4. נגזרת מכוונת וגרדיאנט. משמעות פיסיקלית. מישור משיק ונורמל למשטח. 5. נגזרות חלקיות מסדר גבוה. נוסחת טיילור.6. אקסטרמום של פונקציה בשני משתנים. אקסטרמום בתנאי. כופלי לגרנז‘. ערך מקסימלי ומינימלי של פונקציות בתחום סגור. בעיות מינימום ומקסימום.7. אינטגרל קווי מסוג ראשון. אורך עקומה. 8. אינטגרל כפול. אינטגרל משולש. החלפת משתנים. חישוב אינטגרלים בקואורדינטות קוטביות, כדוריות וגליליות. מרכז מסה. 9. שדה ווקטורי. מהירות ותאוצה. קוי שדה. שדה כוחות. עבודה. אינטגרל קוי מסוג שני.10. שטף שדה ווקטורי דרך משטח.11. משפט גאוס, סטוקס, גרין. דיברגנט ורוטור. שדה משמר (פוטנציאלי).

  1. ישרים ומישורים. המכפלה הווקטורית. פונקציות וקטוריות ממשיות, מסילות במישור, משיקים, תנועה על מסילה 2. פונקציות של כמה משתנים: קבוצות פתוחות וסגורות, גבולות, רציפות, גזירות, הנגזרת הכוונית, נגזרות חלקיות, גרדיינט, שדות סקלריים ושדות וקטוריים, כלל השרשרת, היקוביאן. נגזרות סתומות ומשפט הפונקציות הסתומות. בעיות אקסטרמום במישור ובמרחב: ההסיאן ומבחן הנגזרת השניה, כופלי לגרנז‘. 3. אינטגרלים קווים במישור ובמרחב, הגדרה בסיסית ותכונות יסוד, עבודה, אי תלות במסלול, הקשר עם הגרדיינט, בניית פונקציות פוטנציאל. שימושים למשוואות דיפרנציאליות רגילות: משוואות דיפרנציאליות מדויקות וגורם אינטגרציה. אינטגרליים מסילתיים מהסוג השני ואורך מסילה. 4. אינטגרלים כפולים ומשולשים - הגדרות ותכונות בסיסיות, משפט פוביני, החלפת משתנה והיקוביאן, קואורדינאטות פולריות במישור וגליליות וכדוריות במרחב. משפט גרין במישור. 5. הצגות משטחים במרחב - הצגה פרמטרית, נורמל למשטח, שטח של משטח פרמטרי, אינטגרל משטחי ורפרמטריזציה. 6. רוטור ודיברגנץ של שדות וקטוריים. משפטי גאוס וסטוקס.
  • שדות: הגדרת שדה, מספרים מרוכבים.
  • משוואות ליניאריות: פעולות אלמנטריות, דרוג, מערכות הומוגניות ולא הומוגניות, הצגת פתרונות.
  • מרחבים ווקטוריים: דוגמאות, תת-מרחבים,תלות ליניארית, בסיסים, מימד.
  • חשבון מטריצות: חיבור וכפל מטריצות, פעולות אלמנטריות, מטריצה הפכית, דטרמיננטה, כלל קרמר.
  • טרנספורמציות ליניאריות: דוגמאות, גרעין ותמונה, הצגה מטריציאלית.
  • ליכסון אופרטורים: ערכים ווקטורים עצמיים, פולינום אופייני, שימושים.
  • תבניות בילינאריות
  • מרחבים עם מכפלה פנימית (ממד סופי)
  • אופרטורים על מרחבים אלו: הצמוד, אופרטורים צמודים לעצמם, אוניטריים נורמאליים, כולל לכסון.

חלק א‘: הבסיס של תורת הקבוצות1. מושג הקבוצה ופעולות האיחוד, החיתוך ההפרש וההשלמה על קבוצות. קבוצת החזקה. 2. משפט האינדוקציה של המספרים הטבעיים. אינדוקציה שלמה, עקרון האבר המינימאלי. שימושים. 3. זוגות סדורים והמכפלה הקרטזית. מושג היחס.4. הפונקציה. תחום וטווח. פונקציה חד-חד ערכית. פונקציה על. הרכבת פונקציות. המינימאלי. שימושים.חלק ב‘: תחשיב הפסוקים 1. הקשרים.2. השקילויות הבסיסיות.3. צורה דיסיונקטיבית נורמלית.4. שלמות מערכות של קשרים.חלק ג‘: תחשיב הפרדיקטים 1. שפת תחשיב הפרדיקטים. נוסחאות, שמות עצם ופסוקים.2. מבנים ודוגמאות למבנים.3. השמות וספוק נוסחאות במבנים.4. שקילות לוגית וגרירה לוגית.5. שקילות אלמנטרית וקבוצות גדירות.חלק ד‘: יסודות חשבון עוצמות 1. מושג העוצמה.2. קבוצות סופיות וקבוצות אינסופיות.3. קבוצות שעוצמתן שווה לעוצמת קבוצות המספרים הטבעיים.4. משפט קנטור על עוצמת קבוצת החזקה.5. עוצמת המספרים הממשיים ועוצמת (N) P.

תורת הקבוצות. קבוצה, תת-קבוצות. קבוצת חזקה. מכפלה קרטזית של קבוצות. עקרון החיבור ועקרון הכפל . חליפות, תמורות וצירופים . בינום של ניוטון. עקרון האינדוקציה. עקרון ההכלה וההפרדה. עקרון שובץ ויוניםנוסחאות רקורסיה. פונקציה יוצרת.יחסים ופונקציות. תכונות של יחסים .יחס שקילות. מחלקת השקילות . קבוצת המנה. יחסי סדר. תכונות של פונקציות. פונקציות על ופונקציות חח‘’ע. הרכבת פונקציות .פונקציה הפיכה. פונקציה הפוכה.גרפים, תת גרפים, משלים. איזומורפיים של גרפים. נוסחת אוילר. גרפים מישורים. מעגלי ומסלולי אוילר.עציםתחשיב הפסוקים. פעולות על פסוקים. נוסחאות לוגיות. טאוטולוגיות וסתירות. שקילות לוגית. גרירות לוגית. צורה הדיסיונקטיבית הנורמלית של פסוק. דואליות. מערכות שלמות של קשרים.תחשיב היחסים . כמתים. שפת תחשיב הפרדיקטים. נוסחאות. מבנים. שקילות של נוסחאות. פעולות על נוסחאות עם כמתים. צורה פרנכסית נורמלית.מבנים אלגבריים. חבורות, חוגים. ושדות. חוג השלמים מדולו n. אלגברה בוליאנית.

  1. המספרים הממשיים. סופרימום ואינפימום של קבוצה. 2. סדרות מתכנסות. תת-סדרות. סדרות קושי. משפט בולצנו-ויירשטראס. גבולות עליונים ותחתונים. 3. טורים. סכומים חלקיים. טורים מתכנסים ומתבדרים. תנאי קושי. טורים של מספרים אי-שליליים. מבחני השורש והמנה. טורים כלליים. מבחן לייבניץ לטורים עם סימנים מתחלפים. שינוי סדר הסכימה (ללא הוכחה). 4. גבול של פונקציה. פונקציות רציפות. רציפות של פונקציות אלמנטאריות. תכונות של פונקציות רציפות בקטע סגור: חסימות וקיום האקסטרמום. רציפות במידה שווה, משפט קנטור. 5. הנגזרת של פונקציה. משפט הערך הממוצע. נגזרות מסדר גבוה. כלל לופיטל. משפט טיילור. שארית לגרנז‘.
  1. אינטגרל רימן: סכומי רימן, המשפט היסודי של החשבון הדיפרנציאלי והאינגרל הלא-מסוים. שיטות לחישוב אינטגרלים (אינטגרציה בחלקים, חילוף משתנה, שברים חלקיים). אינטרגלים לא אמיתיים ושימוש לטורים. 2. התכנסות במידה שווה והתכנסות נקודתית. תנאי קושי ומבחן M של ויירשטראס. טורי חזקות. טורי טיילור. 3. משוואות דיפרנציאליות מסדר ראשון: בעיית התחלה, משפט הקיום והיחידות המקומי. פתרונות מפורשים: משוואה פרידה, משוואה הומוגנית, משוואות ברנולי. 4. מערכות של משוואות דיפרנציאליות. קיום ויחידות (ללא הוכחה). מערכת הומוגנית של משוואות דיפרנציאליות ליניאריות עם מקדמים קבועים . 5. משוואות דיפרנציאליות מסדר גבוה: קיום ויחידות (ללא הוכחה), התורה הבסיסית. שיטת השוואת המקדמים עבור מערכות לא הומוגניות מסדר שני עם מקדמים קבועים. האוסצילטור ההרמוני ו\או מעגלי RLC. אם יתיר הזמן: שיטת הוריאציה של המקדמים והוורונסקיאן.
  1. פונקציות. תחום הגדרה וטווח. גרף. מונוטוניות, זוגיות, מחזוריות. הרכבת פונקציות. פונקציה הפוכה.
  2. סדרות. גבולות של סדרות.
  3. גבול של פונקציה בנקודה. רציפות.
  4. נגזרת. משמעות גאומטרית ופיסיקלית. כללי שרשרת. נגזרות מסדר גבוה.
  5. משפט לגרנז‘ (משפט הערך הממוצע לפונקציות גזירות). כללי לופיטל.
  6. בעיות קיצון. אקסטרמומים של פונקציה רציפה בקטע סגור.
  7. חקירת פונקציות ובניית גרפים.
  8. דיפרנציאל. קירוב ליניארי. נוסחאות טיילור ומקלורן.
  9. אינטגרל בלתי מסוים. הגדרה ותכונות. אינטגרלים מידיים.
  10. הצבה ואינטגרציה לפי חלקים.
  11. אינטגרל מסוים. נוסחת ניוטון - ליבניץ. משפט הערך הממוצע לפונקציות רציפות. אינטגרל לא אמיתי.
  12. חישוב שטחים, אורכי עקומה ונפחי גופי סיבוב. חישוב מסה ומרכז כובד.
  13. קאורדינטות קוטביות. חישוב שטחים ואורכי עקומה בקואורדינטות קוטביות.
ספרות:
  1. G.B. Thomas and L.R. Finney, Calculus and Analytic Geometry, 9th Ed, Addison-Wesley (World Student Series), 1996.

  2. ה.אנטון, חשבון דיפרינציאלי ואינטגרלי א‘, האוניברסיטה הפתוחה, רמת אביב, תל-אביב, תשנ“ט, 1999.

  1. טורים מספריים חיוביים וכלליים. התכנסות בהחלט ובתנאי. טורי חזקות.
  2. אלגברה וקטורית. מכפלה סקלרית, מכפלה וקטורית ומכפלה משולבת.
  3. הנדסה אנליטית של ישר ומישור. ישר בהצגה פרמטרית. מישור בהצגה קנונית. מצבים הדדיים בין נקודה, ישר ומישור.
  4. פונקציות וקטוריות של משתנה אחד. נגזרת. עקומות בהצגה פרמטרית. משיק. מהירות ותאוצה. אינטגרציה של משואות התנועה.
  5. משטחים במרחב. משטחי סיבוב מסדר שני. קואורדינטות גליליות וכדוריות.
  6. פונקציות סקלריות של מספר משתנים. שדה סקלרי. משטחי רמה. גבול. רציפות. נגזרות חלקיות. נגזרת כיוונית. גרדיאנט. דיפרנציאל. מישור משיק ונורמל למשטח. כללי שרשרת. פונקציות סתומות ונגזרתן. נוסחאות טיילור ומקלורן. בעיות קיצון. ערך מקסימלי ומינימלי של פונקציה בתחום סגור.
  7. פונקציות וקטוריות של מספר משתנים. שדה וקטורי. קוי שדה. דיברגנס ורוטור.
  8. אינטגרל מסילתי מסוג ראשון וסוג שני. עבודה, צירקולציה. שדה משמר. פוטנציאל.
  9. אינטגרל כפול ושימושיו. נוסחת גרין.
  10. משטחים בהצגה פרמטרית. מישור משיק ונורמל. אינטגרל משטחי מסוג ראשון ומסוג שני. שטף. משפט סטוקס.
  11. אינטגרל משולש ושימושיו. משפט גאוס.
  1. מכפלה סקלרית )מכפלה פנימית(. מכפלה ווקטורג- 3Rתייאומטריה אנליטית. ווקטורים ב מכפלה מעורבת. משמעות גיאומטרית. משוואת הישר. משוואת המישור. משטחים ממעלה .שנייה. משוואה סטנדרטית של כדור. משוואות קנוניות של פרבולואיד, חרוט, היפרבולואיד .2 פונקציות רבות משתנים. הגדרה של פונקציות רבות משתנים. נקודות ותחומים. גרפים, קויו .גובה, משטחי רמה.גבולות ורציפות של פונקציות רבות משתנים. גבול כפול וגבול חורז משפטים עבור פונקציות רבות משתנים רציפות בתחומים סגורים וחסומים. נגזרות חלקיתו ודיפרנציאלים חלקיים. חישוב נגזרות חלקיות . משמעות גיאומטרית. נגזרות מסדרםי גבוהים. דיפרנציאביליות. יחסים בין רציפות ולבין דיפרנציאביליות. דיפרנציאל מסדר ראשון כקירוב לערך הפונקציה בסביבת נקודה. כלל שרשרת. נגזרת מכוונת. גרדיאנט. משוותא .המישור המשיק ומשוואת הישר הנורמלי .3 .אקסטרמומים. דיפרנציאלים מסדרים גבוהים. נוסחת טיילור. נקודות קיצון ונקודות אוףכ .תנאי הכרחי למקסימום ומינימום מקומי. תנאי מספיק למציאת מקסימום ומינימום מקומי מקסימום ומינימום גלובאלי בתחומים סגורים וחסומים. כופלי לגרנז‘. כלל דיפרנציאל מסרד .שני .4 .אינטגרלים כפולים. אינטגרלים כפולים בתחומים מלבניים. אינטגרל כפול ונפח גוף. תכונתו .אינטגרלים כפולים בתחומים לא מלבניים. אינטגרלים חוזרים והחלפת סדר האינטגרצהי טרנספורמציה )העתקה( מהמישור לעצמו והיעקוביאן של טרנספורמציה. אינטגרל כפלו .בקואורדינאטות קוטביות. שימוש בטרנספורמציות והחלפת משתנים. שטחים

לוגיקה ותורת הקבוצות: תחשיב הפסוקים, אופרטורים בוליאניים וטבלאות האמת שלהם, ערך האמת של פסוקים בהשמה, שקילות לוגית וגרירה לוגית, טאוטולוגיות ופסוקים שקריים, הטאוטולוגיות החשובות, למשל, חוקי הפילוג, ונוסחאות דה-מורגן. קבוצות: שייכות, איחוד, חיתוך, הפרש, מכפלה קרטזית, מושג היחס, יחסי שקילות, יחס סדר חלקי, יחס סדר קווי. פונקציות. קומבינטוריקה בסיסית: אינדוקציה, עקרונות ספירה בסיסיים, מקדמים בינומיאליים שיטת ההכלה וההדחה, רקורסיה, פונקציות יוצרות גרפים: מושגים כלליים ודוגמאות, איזומורפיזם, קשירות. גרפי אוילר. עצים.

  1. סטטיסטיקה תיאורית: ארגון, עיבוד והצגת נתונים. 2. התפלגויות דגימה: התפלגות נורמלית, התפלגות t (הסטודנט), התפלגות חי בריבוע והתפלגות פישר. 3. אמידה, אומד נקודתי ורווח סמך של פרמטרים של האוכלוסייה: תוחלת, פרופורציה, שונות, Tolerance interval. 4. בדיקת השערות ביחס לפרמטרים של האוכלוסייה, ביחס לתוחלת, לשונות ולפרופורציה. 5. טעויות סטטיסטיות, רמת מובהקות ועצמה של מבחן סטטיסטי. 6. בדיקת השערות ביחס לשוויון תוחלות, לשוויון פרופורציות ולשוויון שונויות של שתי אוכלוסיות. 7. מבחני אי-תלות של גורמים. שיטה נורמלית ומבחן חי בריבוע. 8. מבחן חי בריבוע לטיב ההתאמה של הנתונים במדגם למודל הסתברותי. 9. רגרסיה ליניארית. הסקה על משמעותיות סטטיסטית של התאמה של עקום רגרסיה לנתונים. שונות משותפת ומקדם המתאם. רווח סמך, ורווח ניבוי. 10. התפלגות Weibull, אמידת פרמטרים של ההתפלגות.

. מספרים מרוכבים: הצגה קרטזית והצגה קוטבית. פונקציות מרוכבות, תכונות יסודיות של פונקציות אנליטיות, הפונקציה המעריכית, פונקציות טריגונומטריות. הגדרת אינטגרל קווי, נוסחת קושי. רזידואוס וקוטב. שימושים ברזידואוס לחישוב של אינטגרלים לא אמיתיים. 2. מרחבי מכפלה פנימית של פונקציות. מערכות אורתוגונליות ומערכות אורתונורמליות. טורי פורייה מוכללים. משפט היטל אורתוגונלי. אי-שוויון בסל, שוויון פרסבל. 3. טורי פורייה טריגונומטריים. טור פורייה מרוכב. טורי פורייה בקטעים שונים. התכנסות נקודתית והתכנסות במידה שווה של טור פורייה. שלמות של מערכת טריגונומטרית ושוויון פרסבל. גזירה ואינטגרציה של טור פורייה. 4. אינטגרל פורייה כגבול של טור פורייה. התמרת פורייה: הגדרה ותכונות יסודיות. התמרת פורייה הפוכה. משפט הקונבולוציה, שוויון פרסבל עבור התמרת פורייה. הקשר בין התמרת פורייה והתמרת לפלס. שימושים למשוואות דיפרנציאליות חלקיות, שימושים לעיבוד אותות. 5. תורת ההתפלגויות (דיסטריבוציות). פונקציית הביסייד, פונקצית דלטה. גזירת התפלגויות. סדרות מתכנסות של התפלגויות. התמרת פורייה במרחב התפלגויות.

הערות

  • קורסים המסומנים ב-(*) מהווים דרישת קדם לרישום לתאר מוסמך
  • קורסים המסומנים ב-(#) הינם קורסי חובה אפשריים למוסמך, בתחומים המתאימים, כמתואר בתכנית הלימודים למוסמך. לפחות שניים כאלה, מתחומים שונים, נדרשים לעמידה בדרישות התואר.
  • קורסים לתארים מתקדמים פתוחים גם בפני תלמידי בוגר חזקים, להם ציון ממוצע של 85 ומעלה, ואשר ניתן להם אישור של המרצים בקורם ושל ראש ועדת ההוראה
  • אנא עיינו בתכניות הלימודים המלאות לתואר בוגר ולתארים מתקדמים למידע על הדרישות והאפשרויות המלאות.